今天讲个有趣的算法：如何快速求 \(n^m\)，其中 n 和 m 都是整数。
为方便起见，此处假设 m >= 0，对于 m < 0 的情况，求出 \(n^{|m|}\) 后再取倒数即可。
另外此处暂不考虑结果越界的情况（超过 int64 范围）。
当然不能用编程语言的内置函数，我们只能用加减乘除来实现。
n 的 m 次方的数学含义是：m 个 n 相乘：n*n*n...*n，也就是说最简单的方式是执行 m 次乘法。
直接用乘法实现的问题是性能不高，其时间复杂度是 O(m)，比如 \(3^{29}\) 要执行 29 次乘法，而乘法运算是相对比较重的，我们看看能否采用什么方法将时间复杂度降低。
设 m = x + y + z（x、y、z 都是整数），我们知道有如下数学等式： \(n^m\) = \(n^{x+y+z}\) = \(n^x * n^y * n^z\)。
也就是说，如果我们已经知道 \(n^x\)、\(n^y\)、\(n^z\) 的值，是不是就可以直接用他们相乘得出 \(n^m\)的结果？这样的话乘的次数就大大降低了。
于是问题就变成应该将 m 拆成怎样的几个数的和。
因为计算机是玩二进制的，我们尝试着将这些数跟 2 扯上联系（以 2 为底），看看会不会有奇迹发生。
我们看看具体的例子：\(3^{29}\)。
我们将 29 做这样的拆分：29 = 16 + 8 + 4 + 1。
这个拆分有什么特点呢？右边的数都是 2 的 X 次方（\(2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^0\)）。
我们把上面的拆分带进公式：\(3^{29} = 3^{16} * 3^{8} * 3^{4} * 3^{1}\)。
那我们能不能知道 \(3^{16}\)、\(3^{8}\)、\(3^{4}\)、\(3^{1}\) 是什么呢？
我们不用计算就知道 \(3^{1}\) 是什么——但仅此而已。
不过我们可以用 \(3^{1}\) 自乘 4 次的到 \(3^4\)；然后再用 \(3^4\) 自乘得到 \(3^8\)；再通过 \(3^8\) 自乘得到 \(3^{16}\)。
好像有点感觉了——我们每做一次乘法，就能将结果翻倍（如 \(3^4\) 自乘就变成 \(3^4*3^4 = 3^8\)）。
如此，虽然也要多次乘法，但乘的次数从 29 次降到 9 次！
然后我们再回头看看上面的拆分：
29 = 16 + 8 + 4 + 1 = \(2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^0\) = \(1*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0\) 。
这不就是学校学的二进制转十进制吗（29 的二进制是 11101）？
\(3^{29} = 3^{16} * 3^{8} * 3^{4} * 3^{1}\) 是说：取 29 的二进制表示中所有值是 1 的位，算出它们的指数值并相乘就得到最终的值。
我们用 go 语言实现一下：
// 求 a 的 n 次方
// a、n 是非负整数
func Pow(a,n int64) int64 {
// 0 的任何次方都是 0
if a == 0 {
return 0
}
// 任何数的 0 次方都是 1
if n == 0 {
return 1
}
// 1 次方是它自身
if n == 1 {
return a
}
// 用滚雪球的方式计算幂
// 雪球初始值是 1
var result int64 = 1
// 滚动因子初始化为 a 的 1 次方（a 自身）
factor := a
// 循环处理直到 n 变成 0（所有的二进制位都处理完了）
for n != 0 {
// 跟 1 做与运算，判断当前要处理的位是不是 1
// 之所以是直接跟 1 做与运算，因为后面每处理一轮都将 n 右移了一位，保证每次要处理的位都在最低位
if n & 1 != 0 {
// 当前位是 1，需要乘进去
result *= factor
}
// 每轮结束时将滚动因子自乘
// 因为每行进一轮，指数都翻倍，整体结果就是自乘
// 比如本轮因子是 2**4，下一轮就是 2**8
// 2**8 = 2**(4+4) = 2**4 * 2**4
// （** 表示指数）
factor *= factor
// n 右移一位，将下一轮要处理的位放在最低位
n = n >> 1
}
return result
}
有什么用呢？
很多语言内置的 pow 函数都只接受浮点数，浮点数的运算是非常重的，如果我们的程序需要频繁计算整数的幂，就可以采用 quick pow 算法代替语言内置的幂函数以提升性能。
我们对 go 语言内置的 math.Pow 和 quick pow 算法做个性能测试对比一下。
// 测试 3 的 29 次方的性能测试
var benchPowB int64 = 3
var benchPowP int64 = 29
// 上面的 quick pow 算法
func BenchmarkQuickPow(b *testing.B) {
for i := 0; i < b.N; i++ {
algo.Pow(benchPowB, benchPowP)
}
}
// go 语言 math 包的 Pow 方法，只接受 float64 类型
func BenchmarkInnerPow(b *testing.B) {
x := float64(benchPowB)
y := float64(benchPowP)
for i := 0; i < b.N; i++ {
math.Pow(x, y)
}
}
// 用简单乘法实现（3 自乘 29 次）
func BenchmarkSimpleMulti(b *testing.B) {
for i := 0; i < b.N; i++ {
var r int64 = 1
var j int64 = 0
for ; j < benchPowP; j++ {
r *= benchPowB
}
}
}
测试结果：
goos: darwin
goarch: amd64
cpu: Intel(R) Core(TM) i7-7700HQ CPU @ 2.80GHz
BenchmarkQuickPow-8 357897716 3.373 ns/op
BenchmarkInnerPow-8 39162492 29.30 ns/op
BenchmarkSimpleMulti-8 121066731 9.549 ns/op
PASS
ok command-line-arguments 4.894s
从性能测试结果看，quick pow 算法比简单乘法快了好几倍，比 math.pow 快了近 10 倍。
所以，如果程序只需要求整数幂，而且能确保计算结果不会越界时，可以考虑使用 quick pow 算法代替语言内置的浮点函数。
