【算法笔记】一大堆的筛法

·前置芝士

·积性函数

​ ·定义：对于任意互质的整数a和b有性质(fleft ( a imes b ight ) = fleft ( a ight ) imes fleft ( b ight ))的数论函数
字面意思，就是以(a imes b)形式呈现的函数

· （其他）完全积性函数：对于任意整数a和b有性质(fleft ( a imes b ight ) = fleft ( a ight ) imes fleft ( b ight ))的数论函数

​ ·举例：
(φ(n)) 欧拉函数，代表小于等于n的数中与n互质的数的数目
(μ(n)) 莫比乌斯函数，看n有无平方数因数
(gcd(n,k)) 最大公因数，k固定
(d(n)) 正因子数目
(σ(n)) 正因子之和
(λ(n)) 能整除n的质因子数
·更多看
积性函数百度百科

​ ·性质：
1）将n表示为(n=p_{1}^{a_{1}} imes p_{2}^{a_{2}} imes p_{3}^{a_{3}}... imes p_{k}^{a_{k}})，则有(f(n)=f(p_{1}^{a_{1}}) imes f(p_{2}^{a_{2}}) imes f(p_{3}^{a_{3}})... imes f(p_{k}^{a_{k}}))
2)若f为积性函数且有(f(p^{n})=f^{n}(p))，则f为完全积性函数

·正文

·筛法合集

1）(O(nsqrt{ n})) 暴力筛法(n<=2e5)
一个一个判断是否有因数，然后筛，是最常用的方法（确信
有些时候复杂度相当小，还是很方便的
不放代码了

2）(O(nlog_{2}n)) 埃氏筛(n<=1e6)
第二个比较经典的写法，对于每一个数筛去它的倍数
均摊下来复杂度如上

3）(O(n)) 欧拉筛(n<=1e8，当然了空间会炸)
线性筛，在2）的基础上优化得到的东西

    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i])p[++cnt]=i;
         for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=n;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }

以上三种是非常常用的写法，我们一般用这些就可以搞大部分的题目了。
然而，毒瘤出题人常常会把数据范围出的非常阴间（不过会有一些特殊性质）。这时候我们就需要一些别的筛法了。

4）Min_25筛

(O(frac{n^{0.75}}{log n})) 专用于求前缀和的筛法
快乐的东西。大致做法：
①对所有(x=lfloorfrac nd floor)筛出不超过x的所有质数的f值之和
②求解原问题，即所有(x=lfloorfrac nd floor)筛出不超过x的所有数的f值之和
例子：loj6235

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,ans=0,f,pos[1000010],k=0,cnt=0,g[1000010];
int id(long long x){
	if(x<=f)return x;
	else return k-n/x+1;
}
int main(){
	scanf("%lld",&n);
	f=sqrt(n);
	for(long long i=1;i<=n;i=pos[k]+1){
		pos[++k]=n/(n/i);
		g[k]=pos[k]-1;
	}
	for(int i=2;i<=f;i++)
	    if(g[i]!=g[i-1]){
	    	cnt++;
	    	for(int j=k;pos[j]>=1ll*i*i;j--)
			    g[j]-=(g[id(pos[j]/i)]-cnt+1);
		}
	printf("%lld
",g[k]);
}