【POJ2480】Longge's problem

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Longge's problem

题目描述

Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer (N)((1 < N < 2^{31})),you are to calculate (sum gcd)((i, N)) (1 le i le N).

"Oh, I know, I know!" Longge shouts! But do you know? Please solve it.

输入格式

Input contain several test case.
A number (N) per line.

输出格式

For each (N), output ,(sum gcd)((i,N)) (1 le i le N), a line

样例输入

2
6

样例输出

3
15

题解

题目要求(sum_{i=1}^ngcd)((i,n))
那么我们考虑一个数(i)对答案的贡献，也就是(gcd)((k,n))(==i)的个数乘上(i)。
首先，如果(i)不是(n)的因数，那么不可能有(gcd)((k,n))(==i)，所以(i)对答案的贡献为(0)。
那么如果(i)是(n)的因子，那么如果存在(gcd)((k,n))(==i)，那么(k)一定满足(k/i)和(n/i)互质，也就是说(k)和(n)的因子中除去(i)后没有相同的因子了。
那么我们马上就发现了(i)对答案的贡献就是(i*phi)((n/i))。
那么显然题目就变成了求(sum_{i|n}i*phi)((n/i))

在判断质数的时候我们都学过一个数的因子都是“对称”的，所以在枚举(phi)((n/i))的过程中我们只要枚举到(sqrt{n})，就行了。

接下来的目标就是如何快速求(phi)((i))了，
我们先了解欧拉函数的一些性质：
有一个质数(p)，则
(phi)((p^k))(=p^k-p^{k-1}=p^{k-1}*(p-1))
因为(p^k)以内不和(p^k)互质的数只有(p)的倍数，也就是数量为(frac{p^k}{p})
因为(phi)是积性函数，所以令(p,k)互质，则
(phi)((p*k))(=phi)((p))(*phi)((k))
所以我们就能用下面的代码求(phi)

inline long long phi(long long x){
    long long sum=x;
    for(long long j=2;j*j<=x;j++)
        if(x%j==0){
            while(x%j==0) x/=j;
            sum=sum/j*(j-1);
        }
    if(x!=1) sum=sum/x*(x-1);
    return sum;
}

ps：有多组数据
上代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n;
inline long long fd(long long x){
    long long sum=x;
    for(long long j=2;j*j<=x;j++){
        if(x%j==0){
            while(x%j==0) x/=j;
            sum=sum/j*(j-1);
        }
    }
    if(x!=1) sum=sum/x*(x-1);
    return sum;
}
long long sum;
int main(){
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF){
        sum=0;
        for(long long i=1;i*i<=n;i++){
            if(n%i==0) sum+=fd(n/i)*i;
            long long u=n/i;
            if(u!=i && n%u==0) sum+=fd(n/u)*u;
        }
        printf("%lld
",sum);
    }
    return 0;
}