经典算法mark

　　在平时找工作的时候，或多或少会遇到一些算法问题，很多都是比较经典或者网上已经流传很久的。只是我们没有接触过，所以不知道怎么解决。

　　在这儿，我自己总结一些我遇到的一些经典算法，给自己增加一点记忆，也给需要的朋友看到学习一下。

1. 倒水问题

    如题：一个容量为5升的杯子和一个容量为3升的杯子，水不限使用，要求精确得到4升水。

　　这类题一般会有两种出题方式：

　　A.简答

　　　　这儿先给出简答的答案：其实结果又很多种，这儿给出倒水次数最少的一种。

　　　　

　　B.编程实现

　　　　解法也比较多，我首先想到的DFS（深度优先）搜索，每次我们有6种选择，只要不断的尝试下去，总可以搜索完所有的状态，找到一个解。也可以用宽度优先搜索（BFS）。

　　程序代码后续补上。

　　后续也有其他版本的倒水问题，如：有三个容器，分别为20升，13升，7升。20升的容器装满水，要使20升和13升的容器里分别装10水，如何做到？

　　　　简答的步骤和前面类似：

　　　　

2.猴子选大王问题

题目：

n只猴子围坐成一个圈，按顺时针方向从1到n编号。
然后从1号猴子开始沿顺时针方向从1开始报数，报到m的猴子出局，再从刚出局猴子的下一个位置重新开始报数，
如此重复，直至剩下一个猴子，它就是大王。

设计并编写程序，实现如下功能：
（1）   要求由用户输入开始时的猴子数$n、报数的最后一个数$m。
（2）   给出当选猴王的初始编号。

这个题直接想到的就是循环链表实现，或者数组实现。

下面直接贴出代码：

　解法1：

<?php
$arr = array('1','2','3','4','5','6','7');//示例数组
echo '<pre>The King is :<br/>';
print_r(king($arr,11));
function king($arr,$count){
    $i = 1;//从1开始
    while(count($arr) > 1){
        if($i%$count == 0){//用求余，计算数到的位，如果求余为0，所数到的位消除，压出数组中
            unset($arr[$i-1]);
        }else{//数到的位不是结束，把这一位放到数组末尾，并消掉这个位
            array_push($arr,$arr[$i-1]);
            unset($arr[$i-1]);
        }
        $i++;//转移到下一个数组元素17     
15 　　}
    return $arr;
}

这种实现方式是使用数组，如果当前数不是选中的，则将其移到数组最后。算法复杂度较高，当数据量较大时，处理效率低。

解法2：

/**
 *
 * @param int $n
 *            开始时的猴子数量
 * @param int $m
 *            报道的最后一个数
 *            (报到这个数的猴子被淘汰,然后下一个猴子重新从①开始报数)
 * @return int 猴子的初始编号
 */
function monkeySelectKing($n, $m)
{
    // 猴子的初始数量不能小于2
    if ($n < 2) {
        return false;
    }
    
    $arr = range(1, $n);
    // 将猴子分到一个数组里, 数组的值对应猴子的初始编号
    $unsetNum = 0;
    // 定义一个变量,记录猴子的报数
    
    for ($i = 2; $i <= $n * $m; $i ++) 
    // 总的循环次数不知道怎么计算,
    {
        // 不过因为循环中设置了return,所以$m*$len效率还可以
        foreach ($arr as $k => $v) {
            $unsetNum ++; // 每到一个猴子, 猴子报数+1
                         
            // 当猴子的报数等于淘汰的数字时:淘汰猴子(删除数组元素)
                         // 报数归0(下一个猴子从1开始数)
            if ($unsetNum == $m) {
                // echo "<pre>";//打开注释,可以看到具体的淘汰过程
                // print_r($arr);
                unset($arr[$k]);
                // 淘汰猴子
                $unsetNum = 0;
                // 报数归零
                if (count($arr) == 1) 
                // 判断数组的长度, 如果只剩一个猴子, 返回它的值
                {
                    return reset($arr);
                }
            }
        }
    }
}

var_dump(monkeySelectKing(100, 2));

这种算法实现的复杂度为O(nm);当nm比较大时，这个效率就比较低。

更简单的实现方式：也叫约瑟夫环的数学解法

原理：

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

　　问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

　　我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
 　　　　 k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
　　并且从k开始报0。

现在我们把他们的编号做一下转换：
k     --> 0
k+1   --> 1
k+2   --> 2
...
...
k-2   --> n-2
k-1   --> n-1

变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n

如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]

递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1

最后得出的解法就是：

/**
 * 约瑟夫环的数学解法  
 */
function yuesefu($n,$m) {
    $r=0;
    for($i=2; $i<=$n; $i++) {

        $r=($r+$m)%$i;
    }
    return $r+1;
}
print_r(yuesefu(100,2));

有关约瑟夫环的数学解法来自于：http://www.cppblog.com/Victordu/archive/2008/02/22/43082.html