7-1 最大子列和问题 （20分）

7-1 最大子列和问题 （20分）

给定(K)个整数组成的序列({N_1, N_2, ..., N_K​})，“连续子列”被定义为({ N_i, N_{i+1}, ..., N_j})，其中(1≤i≤j≤K)。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序，计算给定整数序列的最大子列和。

本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下：

数据1：与样例等价，测试基本正确性；
数据2：102个随机整数；
数据3：103个随机整数；
数据4：104个随机整数；
数据5：105个随机整数；

输入格式:

输入第1行给出正整数(K (≤100000))；第2行给出(K)个整数，其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数，则输出0。

输入样例:

6
-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20

思路

这是一道动态规划的题目。
先来个dp数组，是一维的还是二维的？
首先，不读完整个序列，无法确定连续最大子列。

1. 尝试递归
   在读入第i个数，就确定了，直到i的连续最大子列，和也知道。
   那么读入第i+1个数。既然是最大，那么负数一定要排除。所以第i个数若是负数（情况1），此时必定不是最大子列的元素。
   第i个数若是正数，也不一定是最大子列的元素，因为可能，最大子列吸收它的代价太高。
   看第i+1个数，（情况1），如果能够补偿i的损失。
   （情况2），能够弥补吸收的代价。
   失败。
2. 尝试递推
   这里的底层元素，显然就是每一个数本身。
   性质分类就是 + - 。
   如果i以后的数和为正，那么最大子列会吸收后续所有
   最大连续子列

9:15 2019/1/23 第二天思考。
dp数组应该是一维的。
对dp[i]先做初始化，在开头遇到的负数，其dp都为0
遇到第一个正数，及之后的所有数，dp为其本身。

/*这是主要方程，但不是全部*/
dp[i] = dp[i+1]+a[i];

10:34 2019/1/23 成功AC，对状态转移方程做了详细的定义。
分析了4种情况。我的想法是让人“未卜先知”，或者说是看到未来，所以是从最后一位数的dp来思考的。dp记录的是最大连续子列吸收该数的后果。要做到这一点，必须已经读入整个序列，从最后一个数开始考虑。因为随着后续数的不同，对某个数吸收与否的命运会改变。
如果已经知道吸收一个数的后果，就可以判断是否应该吸收了。
同时，吸收该数，希望吸收最小的坏后果，所以要对(a[i]>0 && dp[i+1]<0)特判，这种情况下，最优策略是仅仅吸收该整数本身。

AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(void){
	int n,i=0,sum=0;
	cin>>n;
	vector<int> dp(n),a(n);
	/*初始化dp数组*/
	bool flag = false;/*代表遇到正数以后*/
	while(cin>>a[i]){/*调试时，需要ctrl+z*/
		if(a[i]>0){
			flag =true;
			dp[i] = a[i];
		}
		else if(flag){
			dp[i] = a[i];
		}
		else{
			dp[i] = 0;
		}
		i++;
	} 
//	for(int i =0;i<n;i++){
//		cout<<a[i]<<endl;
//		cout<<dp[i]<<endl;
//	}
		
	/*成功读入*/
	/*状态转移方程*/
	for(int i=n-2;i>=0;i--){
		if(a[i]>0 && dp[i+1]<0){
			continue;
		}
		else
			dp[i] = dp[i+1] + a[i]; 
	}
	
	cout<<dp[0];
	return 0;
}

参考胡凡的书，这里对状态转移方程可以优化一波。

for(int i=n-2;i>=0;i--){
	dp[i] = max(a[i],dp[i+1] + a[i]); 
}

我的状态转移方程也是满足无后效性的。
从头开始的动态规划，就是定义了dp数组元素dp[i]为以a[i]结尾的连续子列最大和。
dp[i] = max(a[i],dp[i-1] + a[i]);
对最大和条件做了弱化，或者说是定义修改。
接着找出，这些和中值最大的那一个。