CF 793 div2 E 题解

793div2 E

可上 CF 看本题解。

建模不多说，你会把排列拆成若干个轮换，然后对于长为 \(k\) 的轮换，会且仅会用 \(k-1\) 次交换（因为题目保证用的次数是最少的）。

把这些交换抓出来建图，会得到一个森林，你需要给每条边定向，使得每棵树的拓扑序都可以和原轮换循环同构。

考虑如果满足一个 \(i\to p_i\) 的置换，那么你操作的顺序一定是在树上从 \(i\) 开始走然后走到 \(p_i\)，这样的路径是唯一的。设经过了 \(m\) 条边分别是 \(e_1,e_2,\cdots,e_m\)，这 \(m\) 条边会有严格拓扑序 \(\mathrm{opt}_{e_1}<\mathrm{opt}_{e_2}<\cdots<\mathrm{opt}_{e_m}\)。

而这 \(m\) 条边有这些拓扑序恰是满足 \(i\to p_i\) 置换的充要条件。

充分：按这个拓扑序 \(i\) 可以走到 \(p_i\)。

必要：树上路径唯一。

所以对于每个 \(i\to p_i\)，在树上抓出这些路径然后加上有向边，最后拓扑排序即可。

这样做是对的，因为一条边是交换两个数字，最多只会影响两个置换，所以会且恰好会被两条路径覆盖。

总时间复杂度是 \(O(n)\) 的。

关于怎么抓出路径，无根转有根后暴力跳 \(\mathrm{lca}\) 即可。

贴个代码以免有人说我在口胡：

// Problem: E. Unordered Swaps
// From: Codeforces - Codeforces Round #793 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1682/problem/E
// Time: 2022-05-22 22:36
// Author: lingfunny

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
const int mxn = 2e5+10;

int n, m, a[mxn], p[mxn], dep[mxn], in[mxn];

typedef pair<int, int> edge;
vector <edge> G[mxn];
edge fa[mxn];
vector <int> nodes, g[mxn];

inline void adde(int u, int v) { ++in[v]; g[u].push_back(v); }

void dfs(int u, int f) {
	dep[u] = dep[f] + 1; nodes.push_back(u);
	for(auto [id, v]: G[u]) if(v != f) fa[v] = {id, u}, dfs(v, u);
}

inline void solve(int u) {
	vector <int>().swap(nodes);
	dfs(u, 0);
	for(int x: nodes) {
		int y = p[x];	// x -> y
		vector <int> fx, fy;
		while(dep[x] > dep[y]) fx.push_back(fa[x].first), x = fa[x].second;
		while(dep[y] > dep[x]) fy.push_back(fa[y].first), y = fa[y].second;
		while(x != y) {
			fx.push_back(fa[x].first), x = fa[x].second;
			fy.push_back(fa[y].first), y = fa[y].second;
		}
		reverse(fy.begin(), fy.end());
		fx.insert(fx.end(), fy.begin(), fy.end());
		for(int i = 1; i < (int)fx.size(); ++i)
		adde(fx[i-1], fx[i]);
	}
}

signed main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d", p+i);
	for(int i = 1; i <= m; ++i) {
		int x, y; scanf("%d%d", &x, &y);
		G[x].push_back({i, y});
		G[y].push_back({i, x});
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i) if(!dep[i]) solve(i);
	queue <int> q;
	for(int i = 1; i <= m; ++i) if(!in[i]) q.push(i);
	while(q.size()) {
		int u = q.front(); q.pop();
		printf("%d ", u);
		for(int v: g[u]) if(--in[v] == 0) q.push(v);
	}
	return 0;
}