例子：循环语句--素数问题2

1、基本算法：

根据素数定义：一个大于1的自然数只能被1和它本身整除，即可利用for循环逐次计算，求解素数，代码如下：

n = int(input('>>>'))

import datetime
start = datetime.datetime.now()

for i in range(2,n+1):
    for j in range(2,i):
        if i % j == 0:
            break
    else:
        print(i,end=' ')

delta = (datetime.datetime.now() - start).total_seconds()
print()
print(delta)
**********************************************
D:untitledproject2venvScriptspython.exe D:/untitled/project2/day1/sushu.py
>>>10000
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97……
1.062382

Process finished with exit code 0

2、利用奇偶性优化算法：

根据偶数均可整除2性质，由此可知偶数均不是质数，故可优先排除偶数，现将代码优化如下：

n = int(input('>>>'))
print(2,end=' ')

import datetime
start = datetime.datetime.now()

for i in range(3,n+1,2):
    for j in range(3,i,2):
        if i % j == 0:
            break
    else:
        print(i,end=' ')

delta = (datetime.datetime.now() - start).total_seconds()
print()
print(delta)
**************************************************
D:untitledproject2venvScriptspython.exe D:/untitled/project2/day1/sushu.py
>>>10000
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83……
0.53969

Process finished with exit code 0

3、利用所有大于10的质数中，个位数只有1、3、7、9

根据所有大于10的所有奇数，但凡个位数为5的数字均可整除，故可利用此性质再次优化代码：

n = int(input('>>>'))
print(2,end=' ')

import datetime
start = datetime.datetime.now()

for i in range(3,n+1,2):
    if i > 10 and i % 10 == 5:
        continue
    for j in range(3,i,2):
        if i % j == 0:
            break
    else:
        print(i,end=' ')

delta = (datetime.datetime.now() - start).total_seconds()
print()
print(delta)
**************************************************
D:untitledproject2venvScriptspython.exe D:/untitled/project2/day1/sushu.py
>>>10000
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97……
0.501726

Process finished with exit code 0

4、利用质数平方根性质

假设整数m有一个比它的平方根m^(1/2)还要大的因数的话，即m=k1*k2,其中，k1>=m^(1/2)+1,则其另一个因数k2<=m^(1/2)。因此，整数m的因数（如果有的话）只需循环至m的平方根即可，现将代码优化如下：

n = int(input('>>>'))
print(2,end=' ')

import datetime
start = datetime.datetime.now()

for i in range(3,n+1,2):
    if i > 10 and i % 10 == 5:
        continue
    for j in range(3,int(i**0.5)+1,2):
        if i % j == 0:
            break
    else:
        print(i,end=' ')

delta = (datetime.datetime.now() - start).total_seconds()
print()
print(delta)
*********************************************************
D:untitledproject2venvScriptspython.exe D:/untitled/project2/day1/sushu.py
>>>10000
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97……
0.02498

Process finished with exit code 0

5、利用大于等于5的质数一定和6的倍数相邻性质

根据所有大于等于5的质数一定和6的倍数相邻性质，对整体代码进行调整：

# coding=gbk
n = int(input('>>>'))
print(2,3,end=' ')

import datetime
start = datetime.datetime.now()

for i in range(5,n,2):
    if (i+1) % 6 == 0 or (i-1) % 6 == 0:#可能是素数
        for j in range(5,int(i**0.5)+1,2):
            if i % j == 0:
                break
        else:
            print(i,end=' ')

delta = (datetime.datetime.now() - start).total_seconds()
print()
print(delta)
**********************************************************
E:python文件夹venvScriptspython.exe E:/python文件夹/sushu.py
>>>10000
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97……
0.011966

Process finished with exit code 0

第五种方法要注意大于5的质数一定和6的倍数相邻，但是与6的倍数相邻的不一定是质数。比如i等于223的时候，223-1=222，222除以6得到整数37(代码第9行)，因此223进入循环(代码第10行)，223开方+1等于15，j分别取5、7、9、11、13，223分别除j没有整除，因此输出223是质数(代码13~14行)。比如i等于49，49-1=48，48除以6得到整数8(代码第9行)，因此49进入循环(代码第10行)，49开方+1等于8，j分别取5、7，49除j=7的时候是整除，判断语句生效(代码第11行)，跳出该循环(这里的循环指的是代码第10行的循环，第8行的代码循环进入i=51的新一轮)。

这里一定要注意各层的嵌套问题，不能搞混。

看一看各个方法的运行时间，是逐步降低的，代码的效率是逐步提升的。