【八皇后问题】递归回溯法【原创】

八皇后问题

八皇后问题是一个古老的问题，于1848年由一位国际象棋棋手提出：在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，如何求解？八皇后问题可以推广为更一般的n皇后摆放问题：这时棋盘的大小变为n×n，而皇后个数也变成n。当且仅当 n = 1 或 n ≥ 4 时问题有解。

问题分析

• 满足上述条件的八个皇后，必然是每行一个，每列一个
• 棋盘上任意一行、任意一列、任意一条斜线上都不能有两个皇后

解决方法

使用递归回溯来解决

所谓递归回溯，本质上是一种枚举法。这种方法从棋盘的第一行开始尝试摆放第一个皇后，摆放成功后，递归一层，再遵循规则在棋盘第二行来摆放第二个皇后。如果当前位置无法摆放，则向右移动一格再次尝试，如果摆放成功，则继续递归一层，摆放第三个皇后……

如果某一层看遍了所有格子，都无法成功摆放，则回溯到上一个皇后，让上一个皇后右移一格，再进行递归。如果八个皇后都摆放完毕且符合规则，那么就得到了其中一种正确的解法，保存起来，继续下一种解法的寻找。

解决八皇后问题，可以分为两个层面：
* 找出第一种正确摆放方式，也就是深度优先遍历
* 找出全部的正确摆放方式，也就是广度优先遍历

输出格式

类似下面的格式结果，可以看做是一个棋盘，0表示没有放置皇后，1表示放置皇后

1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0

代码

具体的代码为：

<?php

$obj = new EightQueen(8);
// 输出所有棋盘的格子
$obj->printOut();
/**
 * 八皇后问题
 */
class EightQueen
{
    // 棋盘格子的范围/皇后的数量
    private $MAX_NUM;
    // 二维数组作为棋盘，二维数组的第一个维度代表横坐标，第二个维度代表纵坐标，并且从0开始。比如chessBoard[3][4]代表的是棋盘第四行第五列格子的状态
    private $ChessBoard;
    // 所有的正确棋牌解法
    private $result = [];
    public function __construct($max_num)
    {
        // 初始化棋盘的格子范围/皇后的数量
        $this->MAX_NUM = $max_num;
        // 小于3x3的棋盘是无解的
        if ($max_num >= 4) {
            // 初始化棋盘，所有的格子(MAX_NUM x MAX_NUM)都为0，表示格子未放置
            $this->ChessBoard = array_fill(0, $this->MAX_NUM, array_fill(0, $this->MAX_NUM, 0));
            // 从第一层开始递归摆放皇后
            $this->settleQueen();
        }
    }
    /**
     * 检查落点是否符合规则（未放置棋子即符合规则）
     * @param $x int 横坐标
     * @param $y int 纵坐标
     * @return bool
     */
    private function check($x, $y)
    {
        // 从第一层开始检查，从上到下进行每一层检查
        for ($i = 0; $i < $y; $i++) {
            // 纵向检查，对每一层的$x位置进行检查，如果每一层的$x位置已经有放置棋子的话则返回false，比如检查(5,3)这个格子的话，则这里是检查(5,0)(5,1)(5,2)这三个点
            if ($this->ChessBoard[$x][$i] == 1) {
                return false;
            }
            // 检测左侧斜向，比如检查(5,3)这个格子的话，则这里是检查(4,2)(3,1)(2,0)
            if ($x - 1 - $i >= 0 && $this->ChessBoard[$x - 1 - $i][$y - 1 - $i] == 1) {
                return false;
            }
            // 检测右侧斜向比如检查(5,3)这个格子的话，则这里是检查(6,2)(7,1)
            if ($x + 1 + $i < $this->MAX_NUM && $this->ChessBoard[$x + 1 + $i][$y - 1 - $i] == 1) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    /**
     * 从$y层（纵层）开始往下每一层递归摆放皇后，一旦找到一种解法就保存到result中去，然后继续找下一种解法
     * @param $y int 纵坐标
     */
    private function settleQueen($y = 0)
    {
        // 行数超过棋盘的范围，说明已经找到一种解法了，保存到result里面去
        if ($y == $this->MAX_NUM) {
            // 保存正确的棋牌解法
            $this->result[] = $this->ChessBoard;
        }
        // 遍历当前行，从左到右逐一格子进行验证
        for ($i = 0; $i < $this->MAX_NUM; $i++) {
            // 为当前行的每个格子清零，以免在回溯的时候出现脏数据
            for ($x = 0; $x < $this->MAX_NUM; $x++) {
                $this->ChessBoard[$x][$y] = 0;
            }
            // 检查是否符合规则（未放置棋子即符合规则），如果符合，更改元素值并进一步递归
            if ($this->check($i, $y)) {
                $this->ChessBoard[$i][$y] = 1;
                // 递归下层
                $this->settleQueen($y + 1);
            }
        }
    }
    /**
     * 输出所有正确棋盘解法
     */
    public function printOut()
    {
        // 小于3x3的棋盘是无解的
        if ($this->MAX_NUM < 4) {
            echo '小于3x3的棋盘是无解的';
        } else {
            echo '一共有' . count($this->result) . '种解法：<br />';
            foreach ($this->result as $k=>$v) {
                echo "<br />输出第" . ++$k . "个结果 :<br />";
                for ($i = 0; $i < $this->MAX_NUM; $i++) {
                    for ($j = 0; $j < $this->MAX_NUM; $j++) {
                        echo $v[$i][$j] . "&nbsp;&nbsp;&nbsp;";
                    }
                    echo "<br />";
                }
            }
        }
    }
}

运行：

一共有92种解法：

输出第1个结果：
1   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   1   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   1   
0   0   0   0   0   1   0   0   
0   0   1   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   1   0   
0   1   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   1   0   0   0   0   

输出第2个结果：
1   0   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   1   0   0   
0   0   0   0   0   0   0   1   
0   0   1   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   0   0   1   0   
0   0   0   1   0   0   0   0   
0   1   0   0   0   0   0   0   
0   0   0   0   1   0   0   0   
......

优化

由于我是用三维数组result来存储所有的棋盘，用二维数组ChessBoard来存储单个正确的棋盘，未放置皇后的用0表示，放置皇后的用1表示，一方面造成空间的浪费，一方面在循环的时候可能会影响性能，打印result可以发现这个数组很大：

Array
(
    [0] => Array
        (
            [0] => Array
                (
                    [0] => 1
                    [1] => 0
                    [2] => 0
                    [3] => 0
                    [4] => 0
                    [5] => 0
                    [6] => 0
                    [7] => 0
                )

            [1] => Array
                (
                    [0] => 0
                    [1] => 0
                    [2] => 0
                    [3] => 0
                    [4] => 0
                    [5] => 0
                    [6] => 1
                    [7] => 0
                )

            [2] => Array
                (
                    [0] => 0
                    [1] => 0
                    [2] => 0
                    [3] => 0
                    [4] => 1
                    [5] => 0
                    [6] => 0
                    [7] => 0
                )
......

其实0是没必要存储的，只需要存储每一行皇后的位置即可，比如上面的代码中第三个数组表示皇后在第一行第一列，第二行的皇后位置是在第七列，第三行的皇后在第五列，就可以用下面的来表示：

Array
(
    [0] => Array
        (
            [0] => 0
            [1] => 6
            [2] => 4
            ....
        )
...

也就是result按照皇后的位置来存储，这样的话就可以将为二维数组即可，另外，棋盘的初始化也不需要了。

另外由于改成存储皇后的位置了，所以判断棋盘落点是否符合规则的方法需要更改了，之前的方法里面是分成两步来判断对角线的，分别判断左对角线和右对角线，这里可以统一来判断，经过分析得到，设两个不同的皇后分别在j，k行上，x[j],x[k]分别表示在j,k行的那一列上。那么不在同一对角线的条件可以写为abs((j-k))!=abs(x[j]-x[k])，其中abs为求绝对值的函数

最终的代码为：

<?php

$obj = new EightQueen(8);
// 获取所有解法的皇后位置
$result = $obj->getResult();
// 输出所有解法的棋盘格子
PrintChessBoard($result);
/**
 * 按照0和1来输出棋盘的格式
 * @param $array
 */
function PrintChessBoard($array)
{
    $k = 0;
    echo '一共有' . count($array) . '种解法：<br /><br />';
    foreach ($array as $v) {
        echo "输出第" . ++$k . "个结果：<br />";
        foreach ($v as $row) {
            for ($i = 0; $i < count($v); $i++) {
                if ($row == $i) {
                    echo "1&nbsp;&nbsp;&nbsp;";
                } else {
                    echo "0&nbsp;&nbsp;&nbsp;";
                }
            }
            echo "<br />";
        }
        echo "<br />";
    }
}
/**
 * 八皇后问题
 */
class EightQueen
{
    // 棋盘格子的范围/皇后的数量
    private $MAX_NUM;
    // 二维数组作为棋盘，二维数组的第一个维度代表横坐标，第二个维度代表纵坐标，并且从0开始。比如chessBoard[3][4]代表的是棋盘第四行第五列格子的状态
    private $ChessBoard;
    // 所有的正确棋牌解法
    private $result = [];
    public function __construct($max_num)
    {
        // 初始化棋盘的格子范围/皇后的数量
        $this->MAX_NUM = $max_num;
        // 小于3x3的棋盘是无解的
        if ($max_num >= 4) {
            // 从第一层开始递归摆放皇后
            $this->settleQueen();
        }
    }
    /**
     * 检查落点是否符合规则（未放置棋子即符合规则）
     * @param $n int 纵坐标即行数
     * @return bool
     */
    private function check($n)
    {
        // 从第一层开始检查，从上到下进行每一层检查
        for ($i = 0; $i < $n; $i++) {
            // 纵向检查、对角线检查
            if ($this->ChessBoard[$i] == $this->ChessBoard[$n] || abs($this->ChessBoard[$i] - $this->ChessBoard[$n]) == ($n - $i)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    /**
     * 从$y层（纵层）开始往下每一层递归摆放皇后，一旦找到一种解法就保存到result中去，然后继续找下一种解法
     * @param $y int 纵坐标
     */
    private function settleQueen($y = 0)
    {
        // 行数超过棋盘的范围，说明已经找到一种解法了，保存到result里面去
        if ($y == $this->MAX_NUM) {
            // 保存正确的棋牌解法
            $this->result[] = $this->ChessBoard;
        }
        // 遍历当前行，从左到右逐一格子进行验证
        for ($i = 0; $i < $this->MAX_NUM; $i++) {
            $this->ChessBoard[$y] = $i;
            // 检查是否符合规则（未放置棋子即符合规则），如果符合，更改元素值并进一步递归
            if ($this->check($y)) {
                // 递归下层
                $this->settleQueen($y + 1);
            }
        }
    }
    /**
     * 输出所有正确棋盘解法
     */
    public function getResult()
    {
        return $this->result;
    }
}

加上时间消耗方法来查看所消耗的时间：

<?php

$time_start = microtime_float();
$obj = new EightQueen(10);
// 获取所有解法的皇后位置
$result = $obj->getResult();
// 输出所有解法的棋盘格子
PrintChessBoard($result);
$time_end = microtime_float();
$time = $time_end - $time_start;
var_dump($time);

优化前的代码运行十皇后所消耗的时间差不多为：3.24 s

优化后的代码运行十皇后所消耗的时间差不多为：2.39 s

可见优化还是有效果的