[loj#3052] [十二省联考 2019] 春节十二响

题意简述

给定一棵 (n) 的节点的树，根为1，每个点有权值 (M_i)
要把树分成若干段，每段内不存在“祖先-后代”关系，定义一个段的大小为段中点 (M_i) 的最大值。
求所有段的大小之和的最小值。
(nleq 2 imes 10^5)

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想法

想法一：奇怪的贪心

每次找到全树中没分到段内的有最大权值的点 (u) ，则 (M_u) 无论如何都要加到最终答案中。
那么下一步贪心就是找到非 (u) 的祖先且非 (u) 的后代的点中有最大权值的点 (v) ，与 (u) 分到一个段中。
然后再找与 (u) 、(v) 都不存在 “祖先-后代”关系的有最大权值的点加入该段中……以此类推，直到找不到可加入的点，这一个段结束。

要证的话，大概就交换一下。
假设最优解中 (v) 与 (u) 不在同一个段中，将 (v) 与 (u) 所在段中与 (v) 不兼容的点交换位置，之后仍满足要求且不会更差。

怎样找非“祖先-后代”关系的点中权值最大的点呢？
树剖+线段树。
段中每加入一个点，就把它的祖先和后代在线段树中“盖住”，一个段结束后再统一把所有“盖子”都去掉。
很坑，细节极多，实在需要好好注意。（我在细节写炸后还怀疑是算法错了呢 (qwq) ）

想法二：靠谱一些的贪心

树上问题，先考虑子树。
假设已求出子树最优情况下各个段的大小，在对子树进行合并时，显然各自树的最大段合成一段，次大段合成一段，以此类推……
（我也不知道怎么证，但看起来就很靠谱）
对每个子树搞个堆，启发式合并就可以了。

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总结

树上问题，考虑子树……

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代码

启发式合并

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>

using namespace std;

int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}

const int N = 200005;
typedef long long ll;

struct node{
	int v;
	node *nxt;
}pool[N],*h[N];
int cnt;
void addedge(int u,int v){
	node *p=&pool[++cnt];
	p->v=v;p->nxt=h[u];h[u]=p;
}

int n,M[N],f[N],tl;
int st[N];
priority_queue<int> q[N];
void merge(int u,int v){
	if(q[u].size()<q[v].size()) swap(q[u],q[v]);
	tl=0;
	while(q[v].size()){
		st[tl++]=max(q[v].top(),q[u].top());
		q[v].pop(); q[u].pop();
	}
	for(int i=0;i<tl;i++) q[u].push(st[i]);
}
void work(int u){
	int v;
	for(node *p=h[u];p;p=p->nxt)
		work(v=p->v),merge(u,v);
	q[u].push(M[u]);
}

int main()
{
	n=read(); 
	for(int i=1;i<=n;i++) M[i]=read();
	for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=read(),addedge(f[i],i);
	work(1);
	ll ans=0;
	for(;q[1].size();) ans+=q[1].top(),q[1].pop();
	printf("%lld
",ans);
	
	return 0;
}

树剖+线段树

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}

const int N = 200005;
typedef pair<int,int> Pr;
typedef long long ll;

int n,M[N],f[N];

struct node{
	int v;
	node *nxt;
}pool[N],*h[N];
int cnt1;
void addedge(int u,int v){
	node *p=&pool[++cnt1];
	p->v=v;p->nxt=h[u];h[u]=p;
}

int dfn[N],tot,son[N],sz[N],top[N],re[N],out[N];
void dfs1(int u){
	int v,Mson=0;
	sz[u]=1;
	for(node *p=h[u];p;p=p->nxt){
		dfs1(v=p->v);
		sz[u]+=sz[v];
		if(sz[v]>Mson) son[u]=v,Mson=sz[v];
	}
}
void dfs2(int u){
	int v=son[u];
	if(v){
		top[v]=top[f[v]];
		dfn[v]=++tot;
		re[tot]=v;
		dfs2(v);
	}
	for(node *p=h[u];p;p=p->nxt)
		if(!dfn[v=p->v]){
			top[v]=v;
			dfn[v]=++tot;
			re[tot]=v;
			dfs2(v);
		}
	out[u]=tot;
}

int cnt,root,ch[N*2][2],cov[N*2],use[N*2];
Pr ori[N*2],mx[N*2];
void build(int x,int l,int r){
	cov[x]=0;
	if(l==r) { mx[x]=Pr(M[re[l]],re[l]); ori[x]=mx[x]; return; }
	int mid=(l+r)>>1;
	build(ch[x][0]=++cnt,l,mid);
	build(ch[x][1]=++cnt,mid+1,r);
	mx[x]=max(mx[ch[x][0]],mx[ch[x][1]]);
	ori[x]=mx[x];
} 
void push(int x){
	if(!x) return;
	use[x]=1; cov[x]=1; mx[x]=Pr(0,0);
}
void pushdown(int x){
	if(!cov[x]) return;
	push(ch[x][0]); push(ch[x][1]);
	cov[x]=0;
}
void modify(int x,int l,int r,int L,int R){
	use[x]=1;
	if(L<=l && r<=R) { push(x); return; }
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(L<=mid) modify(ch[x][0],l,mid,L,R);
	if(R>mid) modify(ch[x][1],mid+1,r,L,R);
	mx[x]=max(mx[ch[x][0]],mx[ch[x][1]]);
}
void recover(int x,int l,int r){
	if(!use[x]) return;
	use[x]=0; cov[x]=0; mx[x]=ori[x];
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1;
	recover(ch[x][0],l,mid); recover(ch[x][1],mid+1,r);
}
Pr Max(int x,int l,int r,int L,int R){
	if(L<=l && r<=R) return mx[x];
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	Pr ret(0,0);
	if(L<=mid) ret=max(ret,Max(ch[x][0],l,mid,L,R));
	if(R>mid) ret=max(ret,Max(ch[x][1],mid+1,r,L,R));
	return ret;
}
void change(int x,int l,int r,int c){
	use[x]=1;
	if(l==r) { mx[x]=ori[x]=Pr(0,0); return; }
	pushdown(x);
	int mid=(l+r)>>1;
	if(c<=mid) change(ch[x][0],l,mid,c);
	else change(ch[x][1],mid+1,r,c);
	mx[x]=max(mx[ch[x][0]],mx[ch[x][1]]);
	ori[x]=max(ori[ch[x][0]],ori[ch[x][1]]);
}
void jump(int x){
	modify(root,1,n,dfn[x],out[x]);/**/
	while(x){
		modify(root,1,n,dfn[top[x]],dfn[x]);
		x=f[top[x]];
	}
}

int main()
{
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) M[i]=read();
	for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=read(),addedge(f[i],i);
	
	dfs1(1);
	top[1]=1; dfn[1]=++tot; re[tot]=1; dfs2(1);
	build(root=++cnt,1,n);
	
	ll ans=0;
	int t=n;
	while(t){
		Pr w=Max(root,1,n,1,n);
		ans+=w.first;
		change(root,1,n,dfn[w.second]); t--; /*dfn*/
		jump(w.second); 
		for(;;){
			w=Max(root,1,n,1,n);
			if(w.second==0) break;
			change(root,1,n,dfn[w.second]); t--; /*dfn*/
			jump(w.second);
		}
		recover(root,1,n);
	}
	printf("%lld
",ans);
	
	return 0;
}