[bzoj4446] [loj#2009] [Scoi2015] 小凸玩密室

Description

小凸和小方相约玩密室逃脱，这个密室是一棵有 (n) 个节点的完全二叉树，每个节点有一个灯泡。点亮所有灯泡即可逃出密室。每个灯泡有个权值 (Ai) ，每条边也有个权值 (bi) 。点亮第 1 个灯泡不需要花费，之后每点亮 1 个新的灯泡 (V) 的花费，等于上一个被点亮的灯泡 (U) 到这个点 (V) 的距离 (Du,v)，乘以这个点的权值 (Av) 。在点灯的过程中，要保证任意时刻所有被点亮的灯泡必须连通，在点亮一个灯泡后必须先点亮其子树所有灯泡才能点亮其他灯泡。
请告诉他们，逃出密室的最少花费是多少。

Input

第1行包含1个数 (n) ，代表节点的个数
第2行包含 (n) 个数，代表每个节点的权值 (ai) 。( (i=1,2,…,n) )
第3行包含 (n-1) 个数，代表每条边的权值 (bi) ，第 (i) 号边是由第 ((i+1)/2) 号点连向第 (i+1) 号点的边。( (i=l,2,...N-1) )

Output

输出包含1个数，代表最少的花费。

Sample Input

3

5 1 2

2 1

Sample Output

5

HINT

对于 (100\%) 的数据，(1 leq N leq 2 imes 10^5)，(1<Ai,Bi leq 10^5)

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想法

明显的树形 (DP) 。
但注意题中的2个坑点 ！！！！！！
第一个点亮的节点不一定是1号点！
“完全二叉树”的意思的第 (i) 个点的父亲是 (i/2) ，但不保证所有非叶子节点都有两个孩子！

先假设第一个点亮的点是 1 。
那么树形 (dp) 的状态为：
(dp[i][j]) 表示当前 (i) 已被点亮，开始点亮以 (i) 为根的子树，将其全点亮后，最后一个点跑到 (j) 去点亮 (j) 的最少花费。
转移也挺显然的，考虑左右子哪个先点亮就行了，记忆化搜索。
由于在这种情况下，对每个 (i) ，有用的 (dp[i][j]) 中的 (j) 为其所有祖先的另一个孩子，不超过 (O(logn)) 个，所以总状态数 (O(nlogn)) ，不会超时。

交一发，(WA) 了。
于是开始换根。
对于先点亮的那个点，还是要先把它的子树点亮，然后再点亮它的父节点。
这时对每个 (i) ，有用的 (dp[i][j]) 中的 (j) 除了所有祖先的另一个孩子，还有它所有的祖先，但还是 (O(logn)) 级别，总复杂度 (O(nlogn))。
记忆化搜索，然后超时了 (qwq)

那就不记忆化了（用 (map) 常数过大【捂脸】）
重新设状态——
(f[i][j]) 表示 (dp[i][y]) ，其中 (y) 为 (i) 的第 (j+1) 个祖先。
(g[i][j]) 表示 (dp[i][z]) ，其中 (z) 为 (i) 的第 (j+1) 个祖先的另一个孩子。
(O(nlogn)) 时间能把这些值都算出来，然后再换根。

交一发， (WA) 了。
发现不一定每个非叶子节点都有2个孩子，于是又改了改细节。终于 (A) 掉了！

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代码

细节极多 【害怕】

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
using namespace std;
 
int read(){
    int x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
 
const int N = 200005;
typedef long long ll;
 
int n,a[N],b[N];
ll f[N][20],g[N][20];
 
ll ans;
void dfs(int x,ll cur){ //换根
    int l=x*2,r=x*2+1;
    if(x!=1){
        ll now;
        if(r<=n) now=min(1ll*a[l]*b[l]+g[l][0]+f[r][1],1ll*a[r]*b[r]+g[r][0]+f[l][1]);
        else if(l==n) now=1ll*a[l]*b[l]+f[l][1];
        else now=f[x][0];
        ans=min(ans,now+cur);
    }
    if(l>n) return;
    if(l==n) dfs(l,cur+1ll*b[x]*a[x/2]);
    else{
        dfs(l,cur+1ll*a[r]*b[r]+f[r][1]); 
        dfs(r,cur+1ll*a[l]*b[l]+f[l][1]);
    }
}
 
int main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    for(int i=2;i<=n;i++) b[i]=read();
     
    for(int i=n;i>0;i--){
        if(i*2>n){
            int x=i/2,last=(i&1) ? i-1 : i+1;
            ll s=b[i];
            for(int j=0;x>=0;j++,x/=2){
                f[i][j]=s*a[x];
                g[i][j]=1ll*(s+b[last])*a[last];
                s+=b[x]; last=(x&1) ? x-1 : x+1;
                if(x==0) break;
            }
            continue;
        }
        else if(i*2==n){
            for(int j=0,x=i/2;x>=0;j++,x/=2){
                f[i][j]=1ll*a[n]*b[n]+f[n][j+1];
                g[i][j]=1ll*a[n]*b[n]+g[n][j+1];
                if(x==0) break;
            }
            continue;
        }
        int l=i*2,r=l+1;
        for(int j=0,x=i/2;x>=0;j++,x/=2){
            f[i][j]=min(1ll*a[l]*b[l]+g[l][0]+f[r][j+1],1ll*a[r]*b[r]+g[r][0]+f[l][j+1]);
            g[i][j]=min(1ll*a[l]*b[l]+g[l][0]+g[r][j+1],1ll*a[r]*b[r]+g[r][0]+g[l][j+1]);
            if(x==0) break;
        }
    }
     
    ans=f[1][0];
    dfs(1,0);
    printf("%lld
",ans);
     
    return 0;
}