[bzoj4443] [loj#2006] [洛谷P4251] [Scoi2015]小凸玩矩阵

Description

小凸和小方是好朋友，小方给小凸一个 (N imes M)（ (N leq M) )的矩阵 (A) ,要求小秃从其中选出 (N) 个数，其中任意两个数字不能在同一行或同一列，现小凸想知道选出来的 (N) 个数中第 (K) 大的数字的最小值是多少。

Input

第一行给出三个整数 (N) , (M) , (K)
接下来 (N) 行，每行 (M) 个数字，用来描述这个矩阵

Output

如题

Sample Input

3 4 2

1 5 6 6

8 3 4 3

6 8 6 3

Sample Output

3

HINT

(1 leq K leq N leq M leq 250) , (1 leq 矩阵元素 leq 10^9)

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想法

题中的“小秃” 怕不是再说我呜呜

看到 第 (k) 大最小，下意识想到二分。
可二分需要满足有单调性啊？这道题中第 (k) 大的数肯定不是越大越满足条件的，满足条件的应是一段区间。
但我们仍可二分这个值的下限 (x) ，要满足从 (leq x) 的元素中可选出 (n-k+1) 个合法的。

怎么判断能不能选出 (n-k+1) 个合法的呢？
我一开始竟一直想怎么数据结构搞…
后来才意识到，“任两个不能在同一行或同一列” 是个挺经典的模型：把行和列当成点，将可选的元素所在的行与列连边，跑二分图匹配就好了。

这样我们得到下限 (x) 了，但仍有一个问题，能不能选出 (k-1) 个 (geq x) 的元素构成一个合法方案呢？
好巧的是，一定可以。
简略证明如下：
既然 (x) 是下限，那么在 (leq x-1) 的元素中一定选不出 (n-k+1) 个构成合法方案
那么在当前选了 (n-k+1) 个元素后再随便选 (k-1) 个元素构成合法方案，这 (n) 个元素中 (leq x-1) 的 (<n-k+1)
也就是说 (geq x) 的至少有 (k) 个。
那么，在我们选出的元素中，二分保证了 (leq x) 的至少有 (n-k+1) 个，上面的证明保证 (geq x) 的至少有 (k) 个，则第 (k) 大的一定是 (x)

这个证明太神了……我自己绝对想不到啊 (qwq)
要在考场上只能凭感觉猜了 (qwq)

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代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

int read(){
	int x=0;
	char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}

const int N = 255;

int n,m,k;
int a[N][N];

int mp[N][N],vis[N],con[N];
bool find(int u){
	for(int v=1;v<=m;v++){
		if(!mp[u][v] || vis[v]) continue;
		vis[v]=1;
		if(!con[v] || find(con[v])){
			con[v]=u;
			return true;
		}
	}
	return false;
}
bool check(int x){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++)
			mp[i][j]=(a[i][j]<=x);
	memset(con,0,sizeof(con));
	int f=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		memset(vis,0,sizeof(vis));
		if(find(i)) f++;
	}
	return f>=n-k+1;
}

int main()
{
	n=read(); m=read(); k=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=read();
	
	int l=1000000009,r=0,mid;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			l=min(l,a[i][j]);
			r=max(r,a[i][j]);
		}
	while(l<r){
		mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)) r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d
",l);
	
	return 0;
}