题目
Consider n's prime factorization is (n=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}), and (lambda(n)=(-1)^{a_1+a_2+...+a_k}).
Calculate the value of (sum_{i=1}^{n}{sum_{j=1}^{n}{sum_{k=1}^{n}{lambda(i)*lambda(j)*[i|j and j|k]}}}), mod 998244353.
题解
交换一下累加次序可得
[sum_{j=1}^{n}{sum_{k=1}^{n}{sum_{i=1}^{n}{lambda(i)*lambda(j)*[i|j ]*[j|k]}}}
]
重新排列一下各项
[sum_{j=1}^{n}{sum_{k=1}^{n}{lambda(j)*[j|k]*(sum_{i=1}^{n}{lambda(i)*[i|j]})}}
]
令括号内的式子为函数g
[g(j)=sum_{i=1}^{n}{lambda(i)*[i|j]}=sumlimits_{i|j}{lambda(i)}
]
可得答案即为
[sumlimits_{j=1}^{n}{lfloorfrac{n}{j}
floor*lambda(j)*g(j)}
]
观察函数g，可以发现其就是求(j)的关于(lambda)的约数和。约数是成对出现的，总约数个数为(prodlimits_{i=1}^{k}{(a_i+1)})。只有(j)的约数个数为奇数时，函数g的值才为1，否则互相抵消结果为0。当约数个数为奇数时，说明(j)是完全平方数。
可得答案即为
[sumlimits_{j=1}^{lfloorsqrt{n}
floor}{lfloorfrac{n}{j^2}
floor}
]
#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
const int M = 998244353;
typedef long long ll;
int main() {
ll n;
ll ans = 0;
cin >> n;
for(ll i = 1; i * i <= n; i++) {
ans += n / (i * i);
ans %= M;
}
cout << ans << endl;
}