二分查找
基本概念
- 二分查找是一种算法，其输入是一个有序的元素列表。如果要查找的元素包含在列表中，二分查找返回其位置；否则返回null。
- 使用二分查找时，每次都排除一半的数字
- 对于包含n个元素的列表，用二分查找最多需要log2n步，而简单查找最多需要n步。
- 示例：
如果列表包含8个数字，你最多需要检查8个数字。
而使用二分查找时，最多需要检查log n个元素。如果列表包含8个元素，你最多需要检查3个元素，因为log 8 = 3（ 23 = 8）。
注意：仅当列表是有序的时候，二分查找才管用
- 数组：将一系列元素存储在一系列相邻的桶（bucket），即数组。数组从0开始编号：位置依次分别为#0，#1….
python算法
def binary_search(l,item):
low=0
high=len(l)-1
while low<=high:
mid=(low+high)//2
guess=l[mid]
if guess==item:
return mid
if guess>item:
high=mid-1
else:
low=mid+1
return None
my_list=[1,3,5,7,9]
print(binary_search(my_list,3))
print(binary_search(my_list,-3))
运行结果：
1
None
运行时间
- 一般而言，应选择效率最高的算法，以最大限度地减少运行时间或占用空间。
- 最多需要猜测的次数与列表长度相同，这被称为线性时间（linear time）。
- 二分查找的运行时间为对数时间（或log时间）
- 示例：
列表包含100个数字，简单查找最多需要猜100次。二分查找最多需要7次
O(n)：线性时间
O(log n)：对数时间
大O表示法
大O表示法是一种特殊的表示法，指出了算法的速度有多快
算法的运行时间以不同的速度增加
- 二分查找和简单查找的运行时间的增速不同
- 示例：
|
元素个数 |
简单查找 |
二分法查找 |
|
100个元素 |
100ms |
7ms |
|
10000个元素 |
10s |
14ms |
|
1000000000个元素 |
11day |
32ms |
随着元素数量的增加，二分查找需要的额外时间并不多，而简单查找需要的额外时间却很多。
因此，随着列表的增长，二分查找的速度比简单查找快得多。
- 大O表示法用处：仅知道算法需要多长时间才能运行完毕还不够，还需知道运行时间如何随列表增长而增加。
- 大O表示法是为了能够比较操作数，它指出了算法运行时间的增速。
如：假设列表包含n个元素，
简单查找：需要检查每个元素，因此需要执行n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(n)。无单位。
二分查找：需要执行log n次操作。使用大O表示法，这个运行时间为O(log n)
- 大O表示法格式：O(n)，n为操作数
- 大 O 表示法指出了最糟情况下的运行时间
常见的大O运行时间
- 5种大O运行时间
O(log n)，也叫对数时间，这样的算法包括二分查找。
O(n)，也叫线性时间，这样的算法包括简单查找。
O(n * log n)，这样的算法包括第4章将介绍的快速排序——一种速度较快的排序算法。
O(n2)，这样的算法包括第2章将介绍的选择排序——一种速度较慢的排序算法。
O(n!)，这样的算法包括接下来将介绍的旅行商问题的解决方案——一种非常慢的算法
PS：
- 算法的速度指的并非时间，而是操作数的增速。
- 谈论算法的速度时，我们说的是随着输入的增加，其运行时间将以什么样的速度增加。
- 算法的运行时间用大O表示法表示。
- O(log n)比O(n)快，当需要搜索的元素越多时，前者比后者快得越多。
阶乘时间
阶乘时间：需要执行n!（n的阶乘）次操作才能计算出结果，运行时间为O(n!)
小结
- 二分查找的速度比简单查找快得多。
- O(log n)比O(n)快。需要搜索的元素越多，前者比后者就快得越多。
- 算法运行时间并不以秒为单位。
- 算法运行时间是从其增速的角度度量的。
- 算法运行时间用大O表示法表示。