[USACO12FEB]Symmetry

传送门：

https://www.luogu.com.cn/problem/P3046

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/6306/G

题意

给定n个不同的点，求这个点集有多少条对称轴

题解

对于一个点只有两种情况，一种是和另一个点关于这条线对称，一种是在对称轴上。

第一种情况：随机选择一个点p，枚举其他的点和他形成的对称轴，然后再判断这个对称轴是不是点集的对称轴。

第二种情况：当点在对称轴上时，要么另一个点 q 也在对称轴上，两点所在的直线是对称轴，这种情况直接判断这个对称轴是不是点集的对称轴。要么另一个点 q 关于这个点 p 所在的直线有对称点，这个时候按照第一种情况随机点为 q ，枚举其他点和他形成的对称轴，但是这个对称轴要经过点 p 。

想法很好理解，但是实现很难，在洛谷看到了一个题解，代码比较容易理解。

https://www.luogu.com.cn/blog/jzzcjb/dui-cheng-xing-symmetry-ti-xie

用到的数学结论

两点(x1,y1)(x2,y2)求过两点直线Ax+By+C=0
  A=y2-y1 B=x1-x2 C=x2*y1-x1*y2 
  
两点(x1,y1)(x2,y2)求两点间的对称轴Ax+By+C=0
  A=x1-x2 B=y1-y2 C=-((x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2))/2
  
求(x',y')关于直线 Ax+By+C=0 的对称点(x0,y0) 
  设 k=-2*(A*x'+B*y'+C)/(A*A+B*B);
  x0=x'+k*A; 
  y0=y'+k*B;

代码

优化了一下这个题解的代码，可以直接用set来记录一对点是否存在

#include<bits/stdc++.h>
#define eps 1e-6
using namespace std;

int n,cnt,x[100100],y[100100];
set<pair<int,int> >s;

bool dy(double x,double y){return ((x-y<=eps)||(y-x<=eps));}

bool is(double A,double B,double C){//判断某条直线是否是对称轴
    for(int i=1;i<=n;i++){
        /*
            求(x',y')关于直线 Ax+By+C=0 的对称点(x0,y0)
            设 k=-2*(A*x'+B*y'+C)/(A*A+B*B);
            x0=x'+k*A;
            y0=y'+k*B;
        */
        double k=-2*(double)(A*x[i]+B*y[i]+C)/(A*A+B*B);
        double xo=x[i]+k*A;int xx=round(xo);
        double yo=y[i]+k*B;int yy=round(yo);
        if(!s.count({xx,yy})) return 0;
    }
    return 1;
}

bool check(int a,int b){ //以两点为一对对称点
    //A=x1-x2 B=y1-y2 C=-((x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2))/2
    double A=x[a]-x[b];
    double B=y[a]-y[b];
    double C=(double)-((x[a]*x[a]-x[b]*x[b])+(y[a]*y[a]-y[b]*y[b]))/2;
    if(a!=1&&A*x[1]+B*y[1]+C!=0) return 0;
    return is(A,B,C);
}

bool ok(int a,int b){ //以两点所在直线为对称轴
    //A=y2-y1 B=x1-x2 C=x2*y1-x1*y2
    int A=y[b]-y[a];
    int B=x[a]-x[b];
    int C=x[b]*y[a]-x[a]*y[b];
    return is(A,B,C);
}

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>x[i]>>y[i],s.insert({x[i],y[i]});
    for(int i=2;i<=n;i++) cnt+=check(1,i);
    for(int i=2;i<n;i++) cnt+=check(i,n);
    cout<<cnt+ok(1,n);
}