1.实践题目：
4-2 删数问题 (110 分)
给定n位正整数a，去掉其中任意k≤n 个数字后，剩下的数字按原次序排列组成一个新 的正整数。对于给定的n位正整数a和正整数 k，设计一个算法找出剩下数字组成的新数最 小的删数方案。
给定n位正整数a，去掉其中任意k≤n 个数字后，剩下的数字按原次序排列组成一个新 的正整数。对于给定的n位正整数a和正整数 k，设计一个算法找出剩下数字组成的新数最 小的删数方案。
输入格式:
第 1 行是1 个正整数 a。第 2 行是正整数k。
输出格式:
输出最小数。
输入样例:
在这里给出一组输入。例如：
178543
4
输出样例:
在这里给出相应的输出。例如：
13
3.算法描述：
因为给的数字会特别大，用string a来记录数字，记n为要删除的个数，记len每次删除字符后字符串的个数。循环删除个数次，每次只找一次逆序对将高位删去（高位比低位大，就将高位删去），删除高位的方法：将高位后面的所有数字依次前移；如果没找到，就什么也不做。每次循环len减一。接着找到一个非0数字，依次输出；如果都是0，则输出0。
利用反证法证明贪心选择和最优子结构性质:
设有一个n位的数a，用ai表示这个n位数的第i位，（如：若a=945，则a1 = 9，a2 = 4），贪心选择是从这个n位数里找第一个逆序对，将高位删除，若找不到逆序对则删除最后一位。利用反证法：若数a有逆序对则不删除第一个逆序对的高位，删除除开第一个逆序对的高位的任意一个数字①；如果数a没有逆序对，则删除除开最后一位的任意一个数字②。
对于情况①：
若存在逆序对，不失一般性的假设第一个逆序对的高位在ak，删除除开ak的任意一个数字，有两种情况，删除数字ai，i < k 和 i > k。则对这两种情况都进行讨论:
1. 对于情况删除数字ai，i < k：令删除数字ai后，则该数组成为α：a1,a2,...ai-1,ai+1,ai+2,...ak,ak+1,...,an。若删除删除的是ak，令该数组成为β：a1,a2,...ai-1,ai,ai+1,ai+1,...ak-1,ak+1,...,an。对比两个数字，显然a1,a2,...ai-1和ak+1,...,an这两个区间段一致，只用比较ai+1,ai+2,...ak和ai,ai+1,ai+1,...ak-1这一段。由于第一个逆序对的高位在ak，那么a1,a2,...ak-1都是单调非减的，一定有ai+1 > ai，α大于β，故删除数字ai，i < k的情况不成立。
2. 对于第二种情况删除数字ai，i > k：令删除数字ai后，则该数组成为α：a1,a2,...ak,ak+1,...,ai-1,ai+1,ai+2....an。若删除删除的是ak，令该数组成为β：a1,a2,...ak-1,ak+1,...,ai,ai+1,...an。对比两个数字，显然a1,a2,...ak-1和ai+1,ai+2....an这两个区间段一致,则只用比较ak,ak+1,...,ai-1和ak+1,...,ai，由于第一个逆序对的高位在ak，则ak一定大于ak+1，则一定有α大于β，故删除数字ai，i < k的情况不成立。
对于情况②：
若果数a没有逆序对，则删除除开最后一位的任意一个数字。不失一般性的假设删除的数字为ai（i≠n）
则令删除ai（i≠n）后数组成为α：a1,a2,....ai-1,ai+1,...an。令删除an后数组成为β：a1,a2,....ai-1,ai,ai+1,...an-1。显然a1,a2,....ai-1这一区间段一致，只需比较α的ai+1和β的ai，因为不存在逆序对，所以数a是单调非增的，一定存在有α的ak+1 > β的ak（其中k >= i），故一定有α大于β，故如果数a没有逆序对，则删除除开最后一位的任意一个数字，情况不成立。
最优子结构性质证明：
令有数字a有n位，队列R记录未删除的位数，队列D记录删除的位数，如：若a有3位，一开始R={a1,a2,a3} D={Φ}，假如删除了a1，那么此时R = {a2, a3} D = {a1}。
假设数字a有n位，需要删除的个数为k，假设进行到了第i次删除（1 <= i < k）记此时的未删除的位数集合为Ri，删除的位数集合为Di，那么 ||Ri|| = n - i, ||Di|| = i，那么进行i+1次删除操作时，假设贪心选择结果为aj 显然有Ri+1 = Ri - {aj}，Di+1 = Di ∪ {aj}，假设若有Di+1 ≠ Di ∪ {aj}，又因为aj∈ Di+1，假设此时有另一个Di'（||Di’|| = i，Di' ≠ Di），则Di+1 = Di’ ∪ {aj}，不失一般性的假设存在有队列Di'的第m个数Di'[m]与Di[m]不同，那么在第m次修改时，只有修改了Di[m]才能符合贪心选择，其余的修改，如Di'[m]，都不符合贪心选择，所以假设Di+1 ≠ Di ∪ {aj} 不成立。证毕。（请问我，我写的啥？？？）
算法时间及空间复杂度分析：
因为需要循环删除次数次，每次循环要遍历一遍数组，若果找到逆序对还要删除前移，所以时间复杂度为O(n^3)
空间复杂度分析，没有开辟辅助空间，所以为O(1)
心得体会（对本次实践收获及疑惑进行总结）：
第一题和第三题很快就写完了，写第二题写的人憔悴。。。在解题上找到贪心策略是解题的关键。
（我觉得没有人能看懂的。。。）