几何公式

【三角形】:

1. 半周长 (p=frac{a+b+c}{2})

2. 面积 (S=frac{ah}{2}=frac{absin C}{2}=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)})

3. 中线 (M_a=frac{sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}{2}=frac{sqrt{b^2+c^2+2bccos A}}{2})

4. 角平分线 (T_a=frac{sqrt{bc((b+c)^2-a^2)}}{b+c}=frac{2bccosfrac{A}{2}}{b+c})

5. 高线 (H_a=bsin C=csin B=sqrt{b^2-(frac{a^2+b^2-c^2}{2a})^2})

6. 内切圆半径 (r=frac{S}{p}=frac{asin frac{B}{2}sin frac{C}{2}}{sin frac{B+C}{2}}=4Rsin frac{A}{2}sin frac{B}{2}sin frac{C}{2}=frac{absin C}{2}=frac{sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{p}=p an frac{A}{2} an frac{B}{2} an frac{C}{2})

7. 外接圆半径 (R=frac{abc}{4S}=frac{a}{2sin A}=frac{b}{2sin B}=frac{c}{2sin C})

【四边形】:

(D_1) , (D_2) 为对角线, (M)对角线中点连线, (A)为对角线夹角

1. (a^2+b^2+c^2+d^2=D_1^2+D_2^2+4M^2)

2. (S=frac{D_1D_2sin A}{2})

(以下对圆的内接四边形)

3. (ac+bd=D_1D_2)

4. (S=sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}), (p)为半周长

【正 (n) 边形】:

(R) 为外接圆半径, (r) 为内切圆半径

1. 中心角 (A=frac{2pi}{n})

2. 内角 (C=frac{(n-2)pi}{n})

3. 边长 (a=2sqrt{R^2-r^2}=2Rsin frac{A}{2}=2r an frac{A}{2})

4. 面积(S=frac{nar}2=nr^2 an frac{A}2=frac{nR^2sin A}2=frac{na^2}{4 an frac{A}2})

【圆】:

1. 弧长 (L=rA)

2. 弦长 (a=2sqrt{2hr-h^2}=2rsinfrac{A}2)

3. 弓形高 (h=r-sqrt{frac{r^2-a^2}4}=r(1-cosfrac{A}2)=frac{a an frac{A}4}2)

4. 扇形面积 (S_1=frac{rl}2=frac{r^2A}2)

5. 弓形面积 (S_2=frac{rl-a(r-h)}2=r^2frac{A-sin A}2)

【棱柱】:

1. 体积 (V=Ah), (A) 为底面积,(h) 为高

2. 侧面积 (S=lp), (l) 为棱长, (p) 为直截面周长

3. 全面积 (T=S+2A)

【棱锥】:

1. 体积 (V=frac{Ah}3),(A) 为底面积,(h) 为高

(以下对正棱锥)

2. 侧面积 (S=frac{lp}2), (l) 为斜高, (p) 为底面周长

3. 全面积 (T=S+A)

【棱台】:

1. 体积 (V=frac{(A_1+A_2+sqrt{A_1A_2})h}3),(A_1,A_2) 为上下底面积,(h) 为高

(以下为正棱台)

2. 侧面积 (S=frac{(p_1+p_2)l}2),(p_1,p_2)为上下底面周长,(l) 为斜高

3. 全面积 (T=S+A_1+A_2)

【圆柱】:

1. 侧面积 (S=2pi rh)

2. 全面积 (T=2pi r(h+r))

3. 体积 (V=pi r^2h)

【圆锥】:

1. 母线 (l=sqrt{h^2+r^2})

2. 侧面积 (S=pi rl)

3. 全面积 (T=pi r(l+r))

4. 体积 (V=frac{pi r^2h}3)

【圆台】:

1. 母线 (l=sqrt{h^2+(r_1-r_2)^2})

2. 侧面积 (S=pi(r_1+r_2)l)

3. 全面积 (T=pi r_1(L+r_1)+pi r_2(L+r_2))

4. 体积 (V=frac{pi(r_1^2+r_2^2+r_1r_2)h}3)

【球】:

1. 全面积 (T=4pi r^2)

2. 体积 (V=frac{4}{3}pi r^3)

【球台】:

1. 侧面积 (S=2pi r h)

2. 全面积 (T=pi(2rh+r_1^2+r_2^2))

3. 体积 (V=frac{pi h(3(r_1^2+r_2^2)+h^2)}6)

【球扇形】:

1. 全面积 (T=pi r(2h+r_0)), (h) 为球冠高, (r_0)为球冠底面半径

2. 体积 (V=frac{2}{3}pi r^2h)
   
   Euler的任意四面体体积公式（已知边长求体积）
   

已知4点坐标求体积（其中四个点的坐标分别为(（x_1,y_1,z_1）,（x_2,y_2,z_2）,（x_3,y_3,z_3）,（x_4,y_4,z_4）)

注意事项：

1. 注意舍入方式((0.5) 的舍入方向);防止输出 (-0).

2. 几何题注意多测试不对称数据.

3. 整数几何注意xmult和dmult是否会出界;

符点几何注意eps的使用.

4. 避免使用斜率;注意除数是否会为 (0).

5. 公式一定要化简后再代入.

6. 判断同一个(2pi) 域内两角度差应该是

(abs(a_1-a_2)<eta || abs(a_1-a_2)>2pi-eta);

相等应该是

(abs(a_1-a_2)<eps || abs(a_1-a_2)>2pi-eps)

7. 需要的话尽量使用atan2,注意:(atan2(0,0)=0,atan2(1,0)=frac{pi}2,atan2(-1,0)=-frac{pi}2,atan2(0,1)=0,atan2(0,-1)=pi).

8. 叉积cross product (= |vec u| imes |vec v| imes sin<vec u,vec v>)

点积dot product (= |vec u| imes |vec v| imes cos<vec u,vec v>)

9. ((P_1-P_0) imes (P_2-P_0))结果的意义:

正: ((P_0,P_1)) 在 ((P_0,P_2)) 顺时针 ((0,pi))内

负: ((P_0,P_1)) 在 ((P_0,P_2)) 逆时针((0,pi))内

0 : ((P_0,P_1)) ((P_0,P_2)) 共线,夹角为 (0) 或 (pi)