莫比乌斯反演：
对于两个数论函数(f)和(F):
(F(n) = sum_{d|n}f(d)Leftrightarrow f(n)=sum_{d|n}mu(d)f(frac{n}{d}))
其中(mu(n))为莫比乌斯函数，当(n=1)时，(mu(n)=1)，当(n=p_1 p_2...p_k)时，(mu(n)=(-1)^k)，其他情况(mu(n)=0)（主要是不会用(LaTeX)表示分段函数qwq）
证明：
为了解决这个问题，我们引入一个新的运算：狄利克雷卷积
狄利克雷卷积（(*)）
定义：对于数论函数(f,g)，((f*g)(n)=sum_{d|n}f(d)g(frac{n}{d}))(后面的括号内的(n)可省略不写，默认为(n))
作为一个运算，它自然有运算必须有的东西：
单位元：定义函数(epsilon(n)=[n==1])，其中([n=1])表示当(n=1)时值为1，否则为0。这个函数满足对于任意数论函数(F(n))，有(F=F*epsilon)，类似于乘法中的 "1" ，因此称这个函数为单位元。
交换律:(f*g=g*f)，这个其实比较显然，因为(d)和(frac{n}{d})总是成对的。
结合律:对于三个数论函数(f,g,h)，((f*g)*h = f*(g*h))，证明留做习题。
逆元:若两个数论函数(f,g)满足(f*g=epsilon)，则(f,g)互为逆元。
(\)
那么我们就可以开始证明了。等价符号两边分别用卷积表示：
首先定义一个常函数(u(n)=1)，则左边的等式可以表示为 (F=f*u)
右边的等式表示为 (f=F*mu)
然后经过理性分析，我们发现(mu * u = epsilon)，(n=1)显然，(n eq 1)时在计算的时候(mu(n)=-1)和(mu(n)=1)总会成对被枚举计算从而相互抵消，结果为 (0) ，因此成立。
在这里我们推出了一个非常重要的结论（敲黑板）:
(mu * u = epsilon Rightarrow sum_{d|n}mu(d)=[n=1])
好我们把右边的式子代到左边去。
(F = f * u = F * mu * u = F * (mu * u) = F * epsilon = F)
OK证完了，是不是特别简单
那么我们就可以来研究一些实际问题了。
求以下式子的值：
(\)
(sum_{i=1}^{n} sum_{j=1}^{m} [gcd(i,j)==1])，多组询问。
(\)
其实这个东西不需要反演也可做，用这个结论就行：(sum_{d|n}mu(d)=[n==1])，我们把(n)换成(gcd(i,j))，代入原式可以得到这个：
(sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{m}sum_{d|gcd(i,j)}mu(d))
但这个式子其实没什么用（甚至增加了复杂度）。
这个时候，按照网上绝大多数博客的方法，叫做”交换求和顺序“。
可以得到：
(sum_{d=1}^{min(n,m)} mu(d)lfloor frac{n}{d} floorlfloor frac{m}{d} floor)
这个变换过程我想了半年都没有想明白（因为我太菜了。）
我们可以换个角度理解一下，自行打个表：
令(n=3),(m=4),求(gcd(i,j))
| (n diagdown m) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| 3 | 1 | 1 | 3 | 1 |
观察发现，如果我们要按照交换求和顺序前的式子计算，(mu(1))会被计算16次，(mu(2))会被计算3次，(mu(3))会被计算1次。
So，(mu(1))会被计算(lfloor frac{n}{1} floor imes lfloor frac{m}{1} floor)次，(mu(2))会被计算(lfloor frac{n}{2} floor imes lfloor frac{m}{2} floor)次，(mu(3))会被计算(lfloor frac{n}{3} floor imes lfloor frac{m}{3} floor)次。
经过不完全归纳，我们得到了一个结论：(mu(d))被计算了(lfloor frac{n}{d} floor imes lfloor frac{m}{d} floor)次，从而我们只要枚举这个(d)就可以得到和变换前式子一样的结果:
(sum_{d=1}^{min(n,m)} mu(d)lfloor frac{n}{d} floorlfloor frac{m}{d} floor)
好的我们得到了一个(O(Tn))的算法，但是这并不能够解决本题。
优化瓶颈在于这个(d)我们会枚举(n)次，但是实际上我们理性分析就可以发现，(lfloor frac{n}{d} floorlfloor frac{m}{d} floor)并不是和d一一对应的，(lfloor frac{n}{d} floor)和(lfloor frac{m}{d} floor)分别都只有(sqrt{n})和(sqrt{m})种取值，乘积经过画图可知，最多只有(sqrt{n} + sqrt{m})种取值，因此我们将式子简单变形，就可以愉快的预处理了。
(sum_{d=1}^{min(n,m)} mu(d)sum_{d=1}^{min(n,m)}lfloor frac{n}{d} floorlfloor frac{m}{d} floor)
前半部分线性筛处理，后半部分用学名”数论分块“的方法预处理前缀和就好啦。总复杂度(O(n + Tsqrt{n}))