许多连续行为空间的任务往往都是有边界的行为空间。在 policy gradient 中，如果策略的行为输出超出了边界的话，会在真正做决策之前将行为进行截断 (clip) ，使它控制在边界中，但在策略更新的过程中，其实并不知道策略的输出被截断了。在论文 Clipped Action Policy Gradient 中，作者提出了一种截断行为并且无偏的能减小方差的方法，称之为 clipped action policy gradient (CAPG) 。
强化学习的目标是找到一个策略来最大化累积期望回报： [ newcommand{E}{mathbb{E}} newcommand{V}{mathbb{V}} newcommand{low}{alpha} newcommand{high}{beta} newcommand{R}{mathbb{R}} newcommand{clip}{mathrm{clip}} newcommand{I}{mathbb{I}} newcommand{capgpsi}{bar{psi}} eta(pi) = E_{s_0,u_0,dots} Big[ sum_t gamma^t r(s_t,u_t) Big| pi Big] ] 其中 (u) 为行为。policy gradient 的公式为： [ nabla_theta eta(pi_theta) = E_s Big[ E_u [Q^{pi_theta}(s,u) psi(s,u)|s] Big] ] 其中 (psi(s,u) = nabla_theta log pi_theta(u|s)) 。用蒙特卡洛来估计这个梯度： [ nabla_theta eta(pi_theta) approx frac{1}{N} sum_i Q^{pi_theta}(s^{(i)},u^{(i)}) psi(s^{(i)},u^{(i)}) ] 尽管蒙特卡洛方法是个无偏估计，但策略梯度最大的问题在于高方差，而本文主要就是解决这个问题。
我们先定义一个随机变量 (Y) ，使得 (V[Y] le V[X]) 并且 (E[Y] = E[X]) ，其中 (V) 为方差，(E) 为期望，(X=Q^{pi_theta}(s,u) psi(s,u)) 。因为 [ begin{align*} E[X] &= E_s[E_u[X|s]] tag{1} V[X] &= V_s[E_u[X|s]] + E_s[V_u[X|s]] tag{2} end{align*} ] 这里要提下第二个公式，在文中没有给出证明，实际上非常简单，意思就是假设现在有一个二元密度函数 (p(x,y)) ，它的期望与方差为： [ begin{align*} E[p] &= E_x[E_y[p]] V[p] &= E[p^2]-[E[p]]^2 = V_x[E_y[p]] + E_x[V_y[p]] end{align*} ] 可以手动地推导一下，方差中的等式是成立的。
回到刚才的公式 (1) (2) ，这个时候我们可以非常容易地看出： [ begin{align*} E_u[Y|s] &= E_u[X|s] V_u[Y|s] &le V_u[X|s] end{align*} ]
Clipped Action Policy Gradient
我们现在考虑智能体的行为被截断成 ([low, high] subset R^d) ，也就是说状态转移概率和奖励函数为： [ begin{align*} P(s' | s, u) &= P(s' | s,clip(u, low, high)) r(s, u) &= r(s, clip(u, low, high)) end{align*} ]
Scalar actions
我们先考虑行为空间为标量的情况，即 (d=1) 。(Q) 函数满足： [ begin{align*} Q^{pi_theta}(s,u) &= Q^{pi_theta}(s,clip(u,low,high)) &= begin{cases} Q^{pi_theta}(s,low) & text{if } u le low Q^{pi_theta}(s,u) & text{if } low < u < high Q^{pi_theta}(s,high)& text{if } high le u end{cases} tag{3} end{align*} ] 令 (X) 为依赖行为 (u) 的随机变量，(I_{f(u)}) 为依据 (f(u)) 作为条件的指示函数。因为 (X = I_{u le low} X + I_{low < u < high} X + I_{high le u} X) ，那么 (E_u[X]) 可以展开成： [ E_u [X] = E_u [I_{u le low} X] + E_u [I_{low < u < high} X] + E_u [I_{high le u} X] tag{4} ] 结合公式 (3) (4) ，我们可以得到： [ begin{align*} E_u[Q^{pi_theta}(s,u) psi(s,u)] &= Q^{pi_theta}(s,low) E_u [I_{u le low} nabla_theta log pi_theta(u|s)] &+E_u [I_{low < u < high} Q^{pi_theta}(s,u) nabla_theta log pi_theta(u|s)] &+Q^{pi_theta}(s,high) E_u [I_{high le u} nabla_theta log pi_theta(u|s)]. end{align*} tag{5} ] 同时，如下推论 (1) 成立：
假设 (pi_theta(u|s)) 是 (uinR) 的 条件 PDF ，其 CDF 为 (Pi_theta(u|s)) ，那么以下等式成立： [ begin{align*} E_u[I_{u le low} nabla_theta log pi_theta(u|s)] &= E_u [I_{u le low} nabla_theta log Pi_theta(low|s)], E_u[I_{high le u} nabla_theta log pi_theta(u|s)] &= E_u [I_{high le u} nabla_theta log (1 - Pi_theta(high|s))]. end{align*} ]
证明（只证明第一个式子，第二个式子证法相同）： [ beg 大专栏 Clipped Action Policy Gradientin{align*} E_u[I_{u le low} nabla_theta log pi_theta(u|s)] nonumber &= int_{-infty}^low pi_theta(u|s) nabla_theta log pi_theta(u|s)du nonumber &= int_{-infty}^low nabla_theta pi_theta(u|s)du nonumber &= nabla_theta int_{-infty}^low pi_theta(u|s)du nonumber &= nabla_theta Pi_theta(low|s) nonumber &= Pi_theta(low|s) nabla_theta log Pi_theta(low|s) nonumber &= E_u[I_{u le low} nabla_theta log Pi_theta(low|s)]. nonumber end{align*} ] 将这个推论应用到公式 (5) 中，得到： [ begin{align*} E_u[Q^{pi_theta}(s,u) psi(s,u)]&=Q^{pi_theta}(s,low) E_u [I_{u le low} nabla_theta log Pi_theta(low|s)] &{}+E_u [I_{low < u < high} Q^{pi_theta}(s,u)nabla_theta log pi_theta(u|s)] &{}+Q^{pi_theta}(s,high) E_u [I_{high le u}nabla_theta log left(1- Pi_theta(high|s)right)] &=E_u [Q^{pi_theta}(s,u) capgpsi(s,u)] tag{6} end{align*} ] 其中： [ capgpsi(s,u) = begin{cases} nabla_theta log Pi_theta(low|s) & text{if } u le low nabla_theta log pi_theta(u|s) & text{if } low < u < high nabla_theta log (1-Pi_theta(high|s)) & text{if } high le u end{cases} ] 根据公式 (9) ，我们可以用 policy gradient 中的估计方法来采样估计 (Q^{pi_theta}(s,u) capgpsi(s,u)) ，我们就称它为 clipped action policy gradient (CAPG) ，CAPG 的估计比标准的 policy gradient 估计更加好，因为无偏且有着更小的方差。
从直觉上来看，因为 (Pi_theta(low|s)) 和 (1-Pi_theta(high|s)) 对于状态 (s) 来说都是确定性的，所以方差会减小。从数学上来说，令 (X) 为只与 (u) 有关的随机变量，则方差为： [ begin{align*} V_u[X] ={} &V_u [I_{u le low} X]! + !V_u [I_{low < u < high} X]! + !V_u [I_{high le u} X] &{}-2E_u [I_{u le low} X] E_u [I_{low < u < high} X] &{}-2E_u [I_{low < u < high} X] E_u [I_{high le u} X] &{}-2E_u [I_{high le u} X] E_u [I_{u le low} X]. end{align*} ] 我们将 (X=Q^{pi_theta}(s,u)psi(s,u)) 与 (X=Q^{pi_theta}(s,u) capgpsi(s,u)) 两个式子进行比较，从上面的推论 (1) 可以看出，方差与 (V_u [I_{low < u < high} X]) ， (E_u [I_{u le low} X], E_u [I_{low < u < high} X]) ， (E_u [I_{high le u} X]) 都没关系，只与 (V_u [I_{u le low} X]) 和 (V_u [I_{high le u} X]) 有关。我们可以得到以下推论 (2)：
假设 (pi_theta(u|s)) 是 (uinR) 的 条件 PDF ，其 CDF 为 (Pi_theta(u|s)) ，那么以下不等式成立： [ begin{align*} V_u[I_{u le low} nabla_theta log pi_theta(u|s)] &geq V_u[I_{u le low} nabla_theta log Pi_theta(low|s)] V_u[I_{high le u} nabla_theta log pi_theta(u|s)] &geq V_u[I_{high le u} nabla_theta log (1-Pi_theta(high|s))]. end{align*} ]
证明可见论文的附录。同样的，如果乘以一个实值函数 (f(s,u)) ： [ f(s,u) = begin{cases} f(s,low) & text{if } u le low f(s,u) & text{if } low < u < high f(s,high)& text{if } high le u end{cases}. ] 一下等式与不等式仍然成立： [ begin{align*} E_u[f(s,u)capgpsi(s,u)] = E_u[f(s,u)psi(s,u)], V_u[f(s,u)capgpsi(s,u)] le V_u[f(s,u)psi(s,u)]. end{align*} ] 至此，我们已经推导出了在 preliminaries 中所设的 (X) 与 (Y) ，其中 (Y=Q^{pi_theta}(s,u) capgpsi(s,u)) ， (X=Q^{pi_theta}(s,u) psi(s,u)) 。
Vector actions
之前一小节对于标量的行为空间可以扩展到向量级别的行为空间，即 (vec{u} in R^d, d ge 2) ，但每一个行为之间必须互相独立。令： [ capgpsi^{(i)}(s,u) = begin{cases} nabla_theta log Pi_theta^{(i)}(low|s) & text{if } u le low nabla_theta log pi_theta^{(i)}(u|s) & text{if } low < u < high nabla_theta log (1-Pi_theta^{(i)}(high|s)) & text{if } high le u end{cases} ]
则以下等式、不等式仍然成立：
[ begin{align*} E_{vec{u}}[f(s,vec{u})capgpsi(s,vec{u})] = E_{vec{u}}[f(s,vec{u})psi(s,vec{u})] V_{vec{u}}[f(s,vec{u})capgpsi(s,vec{u})] le V_{vec{u}}[f(s,vec{u})psi(s,vec{u})] end{align*} ]
参考
Fujita, Y., & Maeda, S. I. (2018). Clipped Action Policy Gradient. arXiv preprint arXiv:1802.07564.