莫比乌斯反演与杜教筛

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Skywalkert的博客

abclzr

这些博文写的不错啊，挺好懂的

认识几个函数：

莫比乌斯函数 $ mu $

$mu$ 函数也被称作莫比乌斯函数。

性质

性质一    $ mu $ 是一个不完全积性函数， 有：

这里 $ a perp b $ 表示 $a$ 与 $b$ 互质。

性质二    当 $ n $ 不等于 $ 1 $ 时，$ n $ 所有因子的莫比乌斯函数值的和为 $ 0 $ ，

当 $ n = 1 $ 时， 上式等于 $ 0 $ 。

性质三    在无穷极限中， 有：

欧拉函数 $ varphi $

通式为：

其中 $ p_1, p_2, cdots, p_k $ 为 $ n $ 的所有的质因数，且 $ x not= 0 $。

性质

性质一    $ varphi $ 是一个不完全积性 大专栏  莫比乌斯反演与杜教筛函数，有：

这里 $ a perp b $ 表示 $a$ 与 $b$ 互质。

性质二    当 $ n $ 为奇数时， 有：

当 $ n $ 为质数时，有：

当 $ n $ 为大于 $ 2 $ 的正整数时， $ varphi(n) $ 是偶数。

性质三    有如下柿子：

其他数论函数

1. $ 1(n) = 1 $， 完全积性

2. $ mathrm{id}(n) = n $， 完全积性

3. $ mathrm{id}^k(n) = n^k $， 完全积性

4. ， 完全积性

5. $ sigma_k(n) = sum_{d mid n} d^k $，表示 $ n $ 的约数的 $ k $ 次幂的和。

6. $ sigma(n) = sigma_1(n) = sum_{d mid n} d $， 表示 $ n $ 的约数之和。

7. $ tau(n) = sigma_0(n) = sum_{d mid n} 1 $， 表示 $ n $ 的约数个数。

狄利克雷卷积

设 $ f(n), g(n) $ 是两个数论函数， 他们的狄利克雷卷积定义为：

记为 $ f ast g $。公式也可以这样写：

两个数论函数的狄利克雷卷积也是一个数论函数。

性质

1. 结合律：

2. 交换律：

未完待续……