该模型是Appolaire等人于2008年在MSE上发表。
B. Appolaire, H. Combeau, G. Lesoult. Modeling of equiaxed growth in multicomponent alloys accounting for convection and for the globular/dendritic morphological transition, Mater. Sci. Eng. A 487 (2008) 33-45.
该模型是一个半解析半数值的模型，一方面对于枝晶的细微结构如一次枝晶尖端半径、二次枝晶间距及直径，对流效应等用到了大量解析解，有利于深刻理解枝晶的生长动力学过程;另一方面又针对整个凝固过程，非仅仅着眼于稳态过程，故能计算出凝固中各个参数的时间发展过程，对生产实际又有指导作用。
该模型特点：
- 能够模拟球晶/枝晶的形貌变化
- 考虑对流效应
- 计算快捷
- 能够处理多元合金
- 宏微观尺度结合
- 非平均场近似，能够给出组织分布(尺寸、形貌等)??
模型描述
物理图像
该模型用来模拟单个等轴晶在无限大熔体中的组织演化过程。等轴晶的尖端连成一条假想的包络线，包络线内部的固相分数表达式为：
当$g_i=1$时，晶体为球晶;当$g_i<1$时，晶体为枝晶。
这样晶粒的演化分为两部分：
- 包络线的演化动力学;
- 晶内区域的演化动力学。
相图
简化起见，液相线和固相线都假定为直线(二维)或平面(三维)，同时，平衡分配系数也假定为常数。当合金为稀溶液时，上述简化是合理的。对于溶质元素较多时，液固相线可以在平衡浓度附近线性化，下式中的$T_m$是一个假想温度。所以液相线温度为：
$T_m$是纯物质的熔点，$c_{i}^{l}$是液相中i组员的浓度。
此表达式假定溶质元素之间没有相互作用，同时过冷度也不是很大。
包络线
包络线的形状
对于一个立方晶格结构的合金(如钢、铝合金等)，包络线是一个规则的八面体，其中六个角对应枝晶尖端，十二条边对应二次枝晶尖端。如图：
这种形状假设二次枝晶与一次枝晶生长速度相同，要比之前的球状假设要合理得多。
晶粒的体积和表面积是枝晶臂长的简单的函数：
包络线的动力学
包络线的演化动力学由$d_tL_1$决定，其中$d_t$表示对时间的偏导。
- 生长情形大专栏 枝晶生长的宏微观模型li>
- 熔化情形:因为枝晶臂的长度至少是其平均宽度的一个数量级以上，因此熔化过程中包络线的收缩可以忽略，即$d_tL_1=0$。
自由枝晶尖端生长
根据Ivantsov解和微小可解性理论得到枝晶尖端半径和速度。
其中Ivantsov解中加入了对流效应。
对于枝晶生长到后期的情形，软碰撞发生，此时可以调整原模型中远处浓度。
晶内区域(包络线以内)
- 对于枝晶，在包络线以内的机制分为两种：凝固/熔化、粗化
- 对于球晶，包络线以内全部为固相，只考虑凝固/熔化
凝固/熔化
根据质量守恒和能量守恒定律，得到晶内固相体积的变化率$d_tV_s$。
求解时有一个处理，将枝晶根据体积相等等效成一个球体。如图：
微观组织参数
上小节中的守恒定律计算了固相的几何尺寸，但仍需额外的关系是来计算固相的表面积$S_s$和特征长度$d_s$。
- 对于枝晶，$d_s$是二次枝晶臂的平均宽度。相应的几何形状就是一个$d_s$的圆柱体嵌入另一个$lambda_2$的圆柱体($lambda_2$是二次枝晶平均间距)。示意图为：
- 对于球晶，两个参数很好与球体的参数对应。
粗化
对于枝晶，二次枝晶臂的粗化导致二次枝晶间距随时间增加。
算法
模型的主要变量是体积$V_s$和$V_env$、晶内熔体和尖端熔体的浓度。
- 根据守恒定律求晶内熔体的浓度;
- 根据晶内熔体的浓度，直接求得晶粒温度和固相凝固速率$d_tV_s$;
- 通过对凝固速率的显式积分，得到固相体积$V_s$;
- 根据Ivantsov解和微小可解性理论求得枝晶尖端生长速度$V_t$;
- 对$V_t$积分得到一次枝晶臂长，再得到八面体包络线的体积$V_e$;
- 根据两个体积之比得到固相分数$g_i$;
- 枝晶的微观参数根据上述参数更新。
与下落实验对比
在计算枝晶下落时，该模型采用牛顿第二定律：
结果显示：枝晶臂长和下落速度都与实验吻合良好。
在多元钢中应用
研究了过冷度、对流等因素的影响。