最优二分检索树

　　前面给出了二分检索树的定义，下图给出了关于保留字的一个子集的两棵二分检索树。

　　为了确定标识符x是否在一棵二分检索树中出现，将x先与根比较，如果X比根中标识符小，则检索在左子树中继续；如果x等于根中标识符，则检索成功地终止；否则检索在右子树中继续下去。上述步骤可以形式化为过程Search。

Line void Search (BinaryTree T，elemType x，int i) {
//在二分检索树T上查找x，树的每个结点有三个信息段：LChild，IDent
//和RChild。如果x不在T中，则置i=0，否则将i置成使得IDent(i)=x
1 i = T；
2 while(i!＝0) {
3 if(x=IDent[i] {return IDent[i]}；//检索成功
4 else
5 if(x<IDent[i] { i=Lchild[i]}；//检索左子树
6 else { i=Rchild[i]}； //检索右子树
7 }；//while
8 }//Search

已知一个固定的标识符集合，希望产生一种构造二分检索树的方法。可以预料，同一个标识符集合有不同的二分检索树，而不同的二分检索树有不同的性能特征。

下面说说不成功检索的含义：为了得到二分检索树的成本函数，在这棵检索树的每一棵空子树的位置上加上一个虚构的结点，即外部结点，它们在图4.2中画成方框。所有其它结点是内部结点。如果一棵二分检索树表示n个标识符，那么正好有n个内部结点和n+1个外部结点。每个内部结点代表一次成功检索可能终止的位置。每个外部结点表示一次不成功检索可能终止的位置。

二分检索树的预期成本可用公式表示如下：
ΣP(i)*level(ai) + ΣQ(i)*(level(Ei)-l)
　　　　1≤i≤n 0≤i≤n
定义标识符集(a1,a2,…,an)的最优二分检索树是一棵使(4.1)式取最小值的二分检索树。

如果T是最优的，则(4.2)式必定是最小值。进而COST(L)对于包含a1,a2,…,ak-1和E0,El,…,Ek-1的所有二分检索树必定是最小值，同理COST(R)也必定是最小值。
如果用C(i,j)表示包含ai+1,…,aj和Ei,…,Ej的最优二分检索树的成本，那么要让T是最优的，就必须有:
　　　　　　　　　　　　　　COST(L) = C(0,k-1)和COST(R) = C(k,n)
　　　　　　　　　　　　　　而且应该选择k使得 P(k) + C(0,k-1) + C(k,n) + w(0,k-1) + w(k,n) 取最小值。

因此，关于C(0,n)有
C(0,n) = min {c(0,k-1) + C(k,n) + P(k) + w(0,k-1) + w(k,n)}
0<k≤n
将(4.3)一般化，对任何C(i,j)则有
C(i,j) = min {C(i,k-1) + C(k,j) + P(k) + W(i,k-1) + W(k,i)}
i<k≤j
= min {C(i,k-1) + C(k,j)+W(i,j)}
i<k≤j

用下列步骤解(4.4)式可得C(0,n)。
首先计算所有使得j-i=1的C(i,j)(注意C(i,i)=0且W(i,i)=Q(i)，0≤i≤n)；
接着计算所有使得j-i=2的C(i,j)；
然后计算j-i=3的所有C(i,j)，等等。
如果在这计算期间，记下每棵Tij树的根R(i,j)，那么最优二分检索树就可以由
这些R(i,j)构造出来。
需要指出的是，R(i,j)是使(4.4)式取最小值的k值。

下面举个例子：找最小成本二分检索树

Line void OBST(P,Q,n) {
//给定几个互异的标识符a1<a2<…<an。已知成功检索的概率P(i),1≤i≤n，
//不成功检索概率Q(i)，1≤i≤n。此算法对标识符ai+1，…，an计算最优二分
//检索树Tij的成本C(i,j)还计算Tij的根R(i,j)，Tij的权W(i,j)。
float P[n], Q[n], C[n][n], w[n][n]；int R[n][n]；
1 for(i=0；i<n；i++) {
2 (w(i,i),R(i,i),C(i,i)) = (Q(i),0,0)； //置初值
3 (w(i,i+1),R(i,i+1),C(i,i+1)) = (Q(i)+Q(i+1)+P(i+1), i+1, Q(i)+Q(i+1)+P(i+1))；
//含一个结点的最优树
4 }；//for
5 (w(n,n)，R(n,n)，C(n,n)) = (Q(n),0,0)；
6 for(m=2；m<=n；m++) { //找有m个结点的最优树
7 for(i=0；i<=n-m；i++) {
8 j = i+m；
9 w(i,j)=W(i,j-1) + P(j) + Q(j)；
10 K = 区间[R(i,j-1),R(i+1,j)]中使{C(i,r-1)+C(r,j)}取最小值的r值；
//用Knuth的结果解(4.4)式
11 C(i,j) = w(i,j) + C(i,k-1) + C(k,j)；
12 R(i,j) = k；
13 }；//for
14 }；//for
15} //OBST