贪心算法之背包问题

贪婪算法的基本思想：通过一系列步骤来构造问题的解，每一步都是对已构造的部分解的一个扩展，直到获得问题的完整解。

贪婪算法中，每一步“贪婪地” 选择最好的部分解，但不顾及这样选择对整体的影响（局部最优），因此得到的全局解不一定最好的解，但对许多问题它能产生整体最优解。

具体算法描述：

public static void Greedy()
        {
            float cu = c;
            int temp = 0;
            int i = 0;
            for (i = 0; i < n; ++i )
            {
                x[i] = 0;//初始化为0
            }
            for (i = 0; i < n; ++i )
            {
                temp = sortResult[i];//得到取物体的顺序

                if (w[temp] > cu)
                {
                    break;
                }
                //将物品装入背包
                x[temp] = 1;
                cu -= w[temp];//背包容量相应减小

            }
            if (i <= n)//使背包充满
            {
                x[temp] = cu / w[temp];// 比如背包容量剩余10，w[temp] = 9.8f; 要装满
            }

            Display();
        }

贪婪算法每一步需要满足3个条件：

1.可行性：即必须满足问题的约束。

2.局部最优：它是当前步骤中所有可行选择中最佳的局部选择。

3.不可取消：选择一旦做出，在后面的步骤中就无法改变。

贪心算法的基本要素：

1.贪心选择性质：指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。

2.最优子结构性质：指一个问题的最优解包含其子问题的最优解。

贪心算法与动态规划算法的异同：

相同点：都具有最优子结构性质。

不同点：动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题；而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行；

下面研究2个经典的组合优化例题，并以此说明贪心算法与动态规划算法的主要差别。

0-1背包问题：

给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?

背包问题：
与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。

这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似；但背包问题可以用贪心算法求解；而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。

对于0-1背包问题：

例：n=3 ， w={10,20,30} ，v={60,100,120} ，c=30
  什么是最好的部分解？  ——不求单位价值。
  按贪心法：选择价值最大的放入 ： 全部放入第3个物品，价值120。
  但这并不是最好的， 若1，2 物品的放入，总价值160。

对于背包问题：

例：n=3 w={10,20,30} v={60,100,120} c=50
单位价值：v/w={6,5,4}
因此，第一次挑一号物品全部装入, r=40,pv=60
第二次挑2号，全部装入r=20,pv=160
第三次挑3号，部分装入r=0,pv=160+80=240

具体代码如下

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace SeqListSort
{
    /// <summary>
    /// <ather>
    /// lihonlgin
    /// </ather>
    /// <content>
    /// 背包问题： 
    ///与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装
    ///入背包，1≤i≤n。
    ///这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似；但背包问题可以用贪心算法求解；
    ///而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。
    /// </content>
    /// </summary>
    class Greedy_Knapsack
    {
        const int size = 20;
        static float[] w = new float[size];
        static float[] v = new float[size];
        static int n = 5;// 十个物品
        static int c = 20;//背包容量
        static float[] x = new float[size];
        static int[] sortResult = new int[size];//保存单位价值从大到小的下标

        public static void InitData()
        {
            Random r = new Random();
            for (int i = 0; i < n; ++i )
            {
                v[i] = r.Next(10, 31);
                w[i] = r.Next(5, 16);
                x[i] = v[i] / w[i];
                Console.Write("重量为：{0:f2} ", w[i]);
                Console.WriteLine("价值为：{0:f2} ", v[i]);
            }
            Console.WriteLine();
            Sort();// 先排序
        }

        static void Sort()
        {
            float temp = 0.0f;
            int index = 0;
            int k = 0;
            for (int i = 0; i < n-1; ++i )
            {
                temp = x[i];
                index = i;
                //找到最大的效益并保存此时的下标
                for (int j = i+1; j < n; ++j )
                {
                    if (temp < x[j] && (0 == sortResult[j]))
                    {
                        temp = x[j];//第一趟比较得到最大值
                        index = j;//标记下标
                    }
                }
                //对w[i]作标记排序
                if ( 0 == sortResult[index] )
                {
                    sortResult[index] = k++;
                }
            }
            //修改效益最低的sortResult[i]标记
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                if (0 == sortResult[i])
                {
                    sortResult[i] = k++;
                }
            }

        }
        
        public static void Greedy()
        {
            float cu = c;
            int temp = 0;
            int i = 0;
            for (i = 0; i < n; ++i )
            {
                x[i] = 0;//初始化为0
            }
            for (i = 0; i < n; ++i )
            {
                temp = sortResult[i];//得到取物体的顺序

                if (w[temp] > cu)
                {
                    break;
                }
                //将物品装入背包
                x[temp] = 1;
                cu -= w[temp];//背包容量相应减小

            }
            if (i <= n)//使背包充满
            {
                x[temp] = cu / w[temp];// 比如背包容量剩余10，w[temp] = 9.8f; 要装满
            }

            Display();
        }

        static void Display()
        {
            for (int i = 0; i < n; ++i )
            {
                Console.Write("编号：" + i);
                Console.WriteLine("  物品放入的数量{0:F}  ", x[i]);
            }
            Console.WriteLine();
        }
    }
}