【算法】排序（四）归并排序

正文之前

归并排序(Merge sort)，是建立在归并操作上的一种有效的排序算法，效率为O(n logn)，1945年由约翰冯诺依曼首次提出，该算法是采用分治法的一个非常典型的应用，且各层分治递归可以同时进行。
                        ——Wikipedia

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本文将介绍以下内容

排序原理
算法实现（JAVA）
测试阶段
算法分析

正文

排序原理

采用分治的做法，将一个数组分为两个序列，将序列继续拆分达到最小，分别排序，最后将有序的序列归并，达到全部有序的效果。

算法实现

1. 归并操作

public class MergeSort {
    private static int[] temp;              //临时数组

    public static void merge(int[] a, int low, int mid, int high){
        int i = low;                        //第一序列首
        int j = mid + 1;                    //第二序列首
        for (int k = low; k <= high ; k++) {
            temp[k] = a[k];                 //复制元素
        }
        for (int k = low; k <= high; k++) {
            if(i > mid){                    //第一序列的全部元素已归并
                a[k] = temp[j++];           
            }
            else if(j > high){              //第二序列的全部元素已归并
                a[k] = temp[i++];           
            }
            else if(temp[j] < temp[i]){     //第二序列的元素小于第一序列元素
                a[k] = temp[j++];
            }
            else{
                a[k] = temp[i++];           //第一序列的元素小于第二序列
            }
        }
    }
}

归并的操作就是依次从序列中选取元素，两个序列中的元素比较，哪个小选哪个，一个序列全部选完了，就直接选择另一个序列的全部元素

2. 排序操作

public static void sort(int[] a){
        temp = new int[a.length];
        sort(a, 0, a.length - 1);                      //排序整个数组
    }
    private static void sort(int[] a, int low, int high){
        if(low >= high){
            return;
        }
        int mid = low + (high - low) / 2;
        sort(a, low, mid);                              //排序左半边  
        sort(a, mid + 1, high);                         //排序右半边
        merge(a, low, mid, high);                       //归并
    }

sort 方法的作用就是递归执行自己，直到将序列拆分至最小，然后用 merge 方法来排序，最后归并

整个排序过程的代码块就是如此：

public class MergeSort {
    private static int[] temp;              //临时数组

    private static void merge(int[] a, int low, int mid, int high){
        int i = low;                        //第一序列首
        int j = mid + 1;                    //第二序列首
        for (int k = low; k <= high ; k++) {
            temp[k] = a[k];                 //复制元素
        }
        for (int k = low; k <= high; k++) {
            if(i > mid){                    //第一序列的全部元素已归并
                a[k] = temp[j++];
            }
            else if(j > high){              //第二序列的全部元素已归并
                a[k] = temp[i++];
            }
            else if(temp[j] < temp[i]){     //第二序列的元素小于第一序列元素
                a[k] = temp[j++];
            }
            else{
                a[k] = temp[i++];           //第一序列的元素小于第二序列
            }
        }
    }
    
    private static void sort(int[] a){
        temp = new int[a.length];
        sort(a, 0, a.length - 1);                      //排序整个数组
    }
    
    private static void sort(int[] a, int low, int high){
        if(low >= high){
            return;
        }
        int mid = low + (high - low) / 2;
        sort(a, low, mid);                              //排序左半边
        sort(a, mid + 1, high);                         //排序右半边
        merge(a, low, mid, high);                       //归并
    }
}

测试阶段

public static void main(String[] args){
        int[] a = new int[10];
        for (int i = 0; i < 10; i++) {
            a[i] = (int)(Math.random() * 100);
            System.out.print(a[i] + " ");
        }
        System.out.println();
        sort(a);
        for (int i = 0; i < 10; i++) {
            System.out.print(a[i] + " ");
        }
    }

生成十个随机数字，并调用排序方法，接下来选取几组测试结果：

算法分析

1. 特点：

归并排序将所有元素复制到一个辅助数组中，将归并后的结果放入原数组中，不需要额外的空间

2. 时间复杂度

这里需要用一些数学公式：

1. 设数组的长度为N，用 T(N) 表示排序一个长度为N的数组所需要的比较次数，可想而知，T(0) 和 T(1) 为0

2. 将数组的两边分别排序各需要 N/2 次比较（上限），归并所需次数为N（上限）

3. 所以 T(N) ≤ T(N/2) + T(N/2) + N

4. 设 N = 2ⁿ且不等式的等号成立：
   T(2ⁿ) = 2T(2^n-1) + 2ⁿ
   (N / 2 = 2^{n - 1})

5. 等式两边同时除以2ⁿ，得到：
   T(2ⁿ) / 2ⁿ = T(2^n-1) / 2^{n - 1} + 1

6. 由上式可以得到：
   T(2^{n - 1}) / 2^{n - 1} = T(2^n-2) / 2^{n - 2} + 1

7. 将 6 的结果代入 5 中，得到：
   T(2ⁿ) / 2ⁿ = T(2^n-2) / 2^{n - 2} + 1 + 1

8. 重复第7步，直到得到如下结果：
   T(2ⁿ) / 2ⁿ = T(2⁰)/2⁰ + n
   （共计 n - 1 步）

9. 等式两边同时乘以 2ⁿ ，得到结果：
   T(N) = 2ⁿ T(2⁰) + n 2ⁿ = NlogN
   ( n = logN)

所以，算法复杂度为O(nlogn)

3. 稳定性

当两个元素相等时，归并排序不会将两者交换，所以归并排序是稳定的

关于归并排序的介绍就到此了，谢谢！