• 期望线性性


    正睿OJ 石子

    满分做法:

    本题应用了期望的线性性:E(x+y)= E(x)+ E(y)。取走第一堆石子期望其实就是它之前的石堆数+1。这时我们的问题就转化为求取走第一堆之前的期望长度。

    令Pi表示第 i 堆石子在第 1 堆之前被取走的概率,因为它只跟第一堆的相对位置有关,所以它的值就是为(frac{a[i]}{a[1]+a[i]}),最后的期望长度就是他们相加。

    ans=(sum_{i=2}^{n}frac{a[i]}{a[1]+a[i]}+1)

    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<queue>
    #include<vector>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxm=1e5+7;
    int n;
    int a[maxm];
    double ans=0;
    int main()
    {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=1;i<=n;i++)
     scanf("%d",&a[i]);
     ans=1.0;
     for(int i=2;i<=n;i++)
     ans+=(double)a[i]/(double)(a[1]+a[i]);
     printf("%.7lf
    ",ans);
     return 0;	
    }
    

    CF280C Game on Tree

    满分做法:

    根据期望的线性性,答案应该为所有点被染的期望之和。而每个点被染色的方式为他的深度,需要一次操作,所以每个点被染色的期望为(frac{1}{dep[i]}*1)

    #include<iostream>
    #include<cstring>
    #include<cstdio>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    #include<queue>
    #include<vector>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxm=2e5+7;
    int n;
    int pre[maxm],last[maxm],other[maxm],l;
    int dep[maxm];
    double ans=0;
    void add(int x,int y)
    {
     l++;
     pre[l]=last[x];
     last[x]=l;
     other[l]=y;	
    }
    void dfs(int x,int fa)
    {
     ans+=1.0/(double)dep[x];
     for(int p=last[x];p;p=pre[p])
     {
       int v=other[p];
       if(v==fa) continue;
       dep[v]=dep[x]+1;
       dfs(v,x);	
     }
    }
    int main()
    {
     scanf("%d",&n);
     for(int i=1;i<=n-1;i++)
     {
       int x,y;
       scanf("%d%d",&x,&y);
       add(x,y);
       add(y,x);
     }
     dep[1]=1;
     dfs(1,0);
     printf("%.10lf
    ",ans);
     return 0;	
    }
    
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