排序算法（三）——插入排序及改进

插入排序

基本思想

在要排序的一组数中，如果前面(n-1)[n>=2] 个数已经是排好顺序的，如今要把第n个数找到对应位置并插入，使得这n个数也是排好顺序的。

如此重复循环，直到所有排好顺序。

java实现

//插入排序
public void insertionSort(){
      
       int len = array.length;
       int counter = 1;
      
       for(int i=1;i<len;i++){
         
          int temp = array[i];  //存储待排序的元素值
          int insertPoint = i-1;  //与待排序元素值作比較的元素的下标
         
          while(insertPoint>=0 && array[insertPoint]>temp){ //当前元素比待排序元素大
              array[insertPoint+1]= array[insertPoint];  //当前元素后移一位
              insertPoint--;
          }
          array[insertPoint+1]= temp;  //找到了插入位置，插入待排序元素
         
          System.out.print("第"+counter+"轮排序结果：");
          display();
          counter++;
       }
   }

算法分析

在第一趟排序中。插入排序最多比較一次。第二趟最多比較两次，依次类推，最后一趟最多比較N-1次。因此有：

1+2+3+...+N-1 =N*N(N-1)/2

由于在每趟排序发现插入点之前，平均来说。仅仅有全体数据项的一半进行比較，我们除以2得到：

N*N(N-1)/4

复制的次数大致等于比較的次数，然而，一次复制与一次比較的时间消耗不同，所以相对于随机数据，这个算法比冒泡排序快一倍，比选择排序略快。

与冒泡排序、选择排序一样。插入排序的时间复杂度仍然为O(N²)，这三者被称为简单排序或者基本排序。三者都是稳定的排序算法。

假设待排序数组基本有序时，插入排序的效率会更高。

插入排序的改进

在插入某个元素之前须要先确定该元素在有序数组中的位置，上例的做法是对有序数组中的元素逐个扫描，当数据量比較大的时候，这是一个非常耗时间的过程，能够採用二分查找法改进，这样的排序也被称为二分插入排序。

改进后的代码例如以下：

//二分插入排序
   public void BinaryInsertionSort(){
      
       int len = array.length;
       int counter = 1;
      
       for(int i=1;i<len;i++){
         
          int temp = array[i];  //存储待排序的元素值
         
          if(array[i-1]>temp){  //比有序数组的最后一个元素要小
             
              intinsertIndex = binarySearch(0, i-1, temp); //获取应插入位置的下标
              for(int j=i;j>insertIndex;j--){  //将有序数组中，插入点之后的元素后移一位
                 array[j]= array[j-1];
              }
             
              array[insertIndex]= temp;  //插入待排序元素到正确的位置
          }
         
          System.out.print("第"+counter+"轮排序结果：");
          display();
          counter++;
       }
   }
  
   /**
    * 二分查找法
    * @param lowerBound 查找段的最小下标
    * @param upperBound 查找段的最大下标
    * @param target 目标元素
    * @return 目标元素应该插入位置的下标
    */
   public int binarySearch(int lowerBound,int upperBound,int target){
       int curIndex; 
       while(lowerBound<upperBound){
          curIndex= (lowerBound+upperBound)/2;
          if(array[curIndex]>target){
              upperBound= curIndex - 1;
          }else{
              lowerBound= curIndex + 1;
          }
       }
       return lowerBound;
   }

 

另一种在二分插入排序的基础上进一步改进的排序。称为2-路插入排序。其目的是降低排序过程中移动记录的次数，但为此须要n个记录的辅助空间。

算法的思想为：另设一个和原始待排序列L同样的数组D，首先将L[1]复制给D[1]，并把D[1]看成是已排好序的序列中处于中间位置的元素（枢纽元素），之后将L中的从第二个元素開始依次插入到数组D中，大于D[1]的插入到D[1]之后的序列(此处我称为右半边序列。用的是数组左半部分空间)，小于D[1]的插入到D[1]之前的序列(左半边序列，用的是数组右半部分空间)。

该算法将数组当做首尾衔接的环形结构来使用。

示意图例如以下：

 

排序完毕之后，数组中的元素并非依照下标升序排列的。而是靠first与final指针确定起始元素。

注意：当L[1]为最小值时。2-路插入排序失去它的优越性，等同于二分插入排序。

代码例如以下：

   //2-路插入排序
   public void two_wayInsertionSort(){
      
       int len = array.length;
       int [] newArray = new int [len]; 
       newArray[0]= array[0];  //将原数组的第一个元素作为枢纽元素
       int first = 0;  //指向最小元素的指针
       int last = 0;   //指向最大元素的指针
      
       for(int j=0;j<newArray.length;j++){  //打印初始化数组
          System.out.print(newArray[j]+"	");
       }
       System.out.println();
      
       for(int i=1;i<len;i++){
         
          if(array[i]>= newArray[last]){  //大于等于最大元素。直接插入到last后面，不用移动元素
              last++;
              newArray[last]= array[i];
          }else if(array[i] < newArray[first]){  //小于最小元素，直接插到first前面，不用移动元素
              first= (first-1+len) % len;
              newArray[first]= array[i];
          }else if(array[i] >= newArray[0]){  //在最大值与最小值之间，且大于等于枢纽元素，插入到last之前。须要移动元素
              int curIndex = last;
              last++;
              do{  //比array[i]大的元素后移一位
                 newArray[curIndex+1]= newArray[curIndex];
                 curIndex--;
              }while(newArray[curIndex]>array[i]);
             
              newArray[curIndex+1]= array[i];  //插入到正确的位置
          }else{  //在最大值与最小值之间，且小于枢纽元素，插入到first之后，须要移动元素
              int curIndex = first;
              first= (first-1+len) % len;
              do{  //比array[i]小的元素前移一位
                 newArray[curIndex-1]= newArray[curIndex];
                 curIndex= (curIndex+1+len)%len;
              }while(newArray[curIndex]<=array[i]);
             
              newArray[(curIndex-1+len)%len]= array[i];  //插入到正确的位置
          }
         
          for(int j=0;j<newArray.length;j++){  //打印新数组中的元素
              System.out.print(newArray[j]+"	");
          }
          System.out.println();
         
       }
   }

假设对例如以下数组进行排序

8,1,11,12,4,20,7,2,6,15

打印结果例如以下：

此时，first指向下标为5的元素（1），last指向下标为4的元素（20）