HihoCoder第六周：01背包问题

01背包问题大二的时候就接触过了，几行关键代码自己也都看过很多遍了，但是很多代码一直都没能理解。所以今天拿表来好好地画一画，弄懂其中的动态规划究竟什么含义。

1038 : 01背包

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描述
且说上一周的故事里，小Hi和小Ho费劲心思终于拿到了茫茫多的奖券！而现在，终于到了小Ho领取奖励的时刻了！
小Ho现在手上有M张奖券，而奖品区有N件奖品，分别标号为1到N，其中第i件奖品需要need(i)张奖券进行兑换，同时也只能兑换一次，为了使得辛苦得到的奖券不白白浪费，小Ho给每件奖品都评了分，其中第i件奖品的评分值为value(i),表示他对这件奖品的喜好值。现在他想知道，凭借他手上的这些奖券，可以换到哪些奖品，使得这些奖品的喜好值之和能够最大。
输入：
每个测试点（输入文件）有且仅有一组测试数据。
每组测试数据的第一行为两个正整数N和M,表示奖品的个数，以及小Ho手中的奖券数。
接下来的n行描述每一行描述一个奖品，其中第i行为两个整数need(i)和value(i)，意义如前文所述。
测试数据保证
对于100%的数据，N的值不超过500，M的值不超过10^5
对于100%的数据，need(i)不超过2*10^5, value(i)不超过10^3
输出：
对于每组测试数据，输出一个整数Ans，表示小Ho可以获得的总喜好值。
样例输入
5 1000
144 990
487 436
210 673
567 58
1056 897
样例输出
2099

看了http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810
这篇博客的01背包解释，自己动手画了画表格，弄懂了很多， 原博主很厉害，很佩服，讲得很清楚，我这里班门弄斧了，只是自己想把其中一些细节写一些，好让自己好好思考思考。注意本表格是从上至下、从左至右画出来的。
假设，有a、b、c、d、e五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？
首先，我们建立一个这样的表：

假设单元格设为best，那么比方说best[c][5]是第四行第八列，其含义是当前包的承重为5时，在能选a、b、c物品的前提下，包中物品的最大价值。
所以理解了这个含义之后，先填第一行表，就很容易了。如表2。

第二行其他的空没什么好说的，能装下两个肯定要尽量装下两个，装不下两个的挑最值钱的。有意思一个的地方在于best[b][2]，此时它即能装a也能装b(……)，那这样的话，装什么呢，你不服我不服，比一下吧，怎么比？

注意站在此时的角度的话
best[b][2]=best[a][2]代表着不装b的选项。
best[b][2]=best[a][0]+value(b)代表着装b(best[a][0]由其含义可知自然等于0)，为什么？因为你要装b的话自然要在之前留有b的重量的空间啊，就是2啊，这要扣除，才能加上value(b)。所以best[a][0]相当于打了一个提前量，为后面装b留足空间。这就是我所理解的01背包问题其表达式的含义。

第三行与此同理，想装c的话，自然要在b那里留有c的重量空间，又因为这时b的每一个空格都是最优选项了，所以这么一比较肯定也是当前的最优值。

这样从上到下，从左至右就能填出此表。此时最优解根据单元格的含义可知，是best[e][10]。

所以根据表格总结规律，可以得到表达式
best[i][j]=max(best[i-1][j-need[i]]+value[i],best[i-1][j])
上代码：

#include <iostream>
using namespace std;

int value[505];
int need[505];

int best[505][100005]={0};

int main()
{
    int total_num,total_weight,count;
    cin>>total_num>>total_weight;

    for(count=1;count<=total_num;count++)
    {
        cin>>need[count]>>value[count];
    }

    int i,j;
    for(i=1;i<=total_num;i++)
    {
        for(j=0;j<=total_weight;j++)
        {
            if(j<need[i])
                best[i][j]=best[i-1][j];
            else
                best[i][j]=max(best[i-1][j],best[i-1][j-need[i]]+value[i]);
        }
    }
    cout<<best[total_num][total_weight];

    return 0;
}

最后是空间问题：
注意到，在算best[c]这一行的空格时，只有best[b]有用了，best[a]此时已经没有用了。而在算best[d]这一行时，又是只有best[c]有用了，best[b]又没用了。
可见，在整个程序过程中，一直在使用的是两个total_num大的数组而已，而不需要开辟之前那么多的空间了。

#include <iostream>
using namespace std;

int value[505];
int need[505];

int best1[200005]={0};
int best2[200005]={0};

int main()
{
    int total_num,total_weight,count;
    cin>>total_num>>total_weight;

    for(count=1;count<=total_num;count++)
    {
        cin>>need[count]>>value[count];
    }

    int i,j;
    for(i=1;i<=total_num;i++)
    {
        for(j=0;j<=total_weight;j++)
        {
            if(i%2==0)
            {
                if(j<need[i])
                    best1[j]=best2[j];
                else
                    best1[j]=max(best2[j],best2[j-need[i]]+value[i]);
            }
            else
            {
                if(j<need[i])
                    best2[j]=best1[j];
                else
                    best2[j]=max(best1[j],best1[j-need[i]]+value[i]);
            }
        }
    }
    cout<<max(best1[total_weight],best2[total_weight]);

    return 0;

再优化一下空间，
填表格的时候是从左至右的，填右面的只会用到左面的表格，所以其实一个total_num大的数组就足够了。

#include <iostream>
using namespace std;

int value[505];
int need[505];

int best1[200005]={0};

int main()
{
    int total_num,total_weight,count;
    cin>>total_num>>total_weight;

    for(count=1;count<=total_num;count++)
    {
        cin>>need[count]>>value[count];
    }

    int i,j;
    for(i=1;i<=total_num;i++)
    {
        for(j=total_weight;j>=need[i];j--)
        {
            best1[j]=max(best1[j],best1[j-need[i]]+value[i]);
        }
    }
    cout<<best1[total_weight];
    return 0;
}

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