大家都知道斐波那契数列，现在要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。
n<=39
难度：⭐⭐⭐⭐
关键：不能用递归，时间复杂度会以n的指数方式增长，导致stackoverflow。要用循环，为了计算量不大，要自下而上的循环，将运算结果存在中间变量中，这样就是O(n)，以一定的空间代价避免代价更大的重复计算的栈空间浪费。
思路：从2开始。f(2)=f(1)+f(0)...one=1,two=0,for(；；){result=one+two;one=result;two=one}
其他：青蛙跳台阶(普通+变态版），矩形覆盖。运用了数学建模的分类思想。
关于动态规划三个条件：最优子结构、无后效性、子问题重叠。
我的。
class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {
//n<2时
if(n<0) throw exception();
else if(n<2) return n;
else
{
int result=0;
int first=1;
int second=0;
for(int i=1;i<n;i++)
{
result=first+second;
second=first;
first=result;
}
return result;
}
}
};c++动态规划版
class Solution {
public:
int Fibonacci(int n) {
int f = 0, g = 1;
while(n--) {
g += f;
f = g - f;
}
return f;
}
};
python 。以数组的方式。
# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def Fibonacci(self, n):
# write code here
res=[0,1,1,2]
while len(res)<=n:
res.append(res[-1]+res[-2])
return res[n]其他题目
青蛙跳台阶
class Solution {
public:
int jumpFloor(int number) {
if(number<=0) throw exception();
if(number<=2)
return number;
else
{
//f(3)=f(2)+f(1)
int one=2;
int two=1;
int result=3;
for(int i=2;i<number;i++)
{
result=one+two;
two=one;
one=result;
}
return result;
}
}
};python
# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def jumpFloor(self, n):
# write code here
res=[1,1,2]
while len(res)<=n:
res.append(res[-1]+res[-2])
return res[n]青蛙跳台阶变态版
一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
关于本题，前提是n个台阶会有一次n阶的跳法。分析如下:
f(1) = 1
f(2) = f(2-1) + f(2-2) //f(2-2) 表示2阶一次跳2阶的次数。
f(3) = f(3-1) + f(3-2) + f(3-3)
...
f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3) + ... + f(n-(n-1)) + f(n-n)
说明：
1）这里的f(n) 代表的是n个台阶有一次1,2,...n阶的 跳法数。
2）n = 1时，只有1种跳法，f(1) = 1
3) n = 2时，会有两个跳得方式，一次1阶或者2阶，这回归到了问题（1） ，f(2) = f(2-1) + f(2-2)
4) n = 3时，会有三种跳得方式，1阶、2阶、3阶，
那么就是第一次跳出1阶后面剩下：f(3-1);第一次跳出2阶，剩下f(3-2)；第一次3阶，那么剩下f(3-3)
因此结论是f(3) = f(3-1)+f(3-2)+f(3-3)
5) n = n时，会有n中跳的方式，1阶、2阶...n阶，得出结论：
f(n) = f(n-1)+f(n-2)+...+f(n-(n-1)) + f(n-n) => f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-1)
6) 由以上已经是一种结论，但是为了简单，我们可以继续简化：
f(n-1) = f(0) + f(1)+f(2)+f(3) + ... + f((n-1)-1) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2)
f(n) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(n-2) + f(n-1) = f(n-1) + f(n-1)
可以得出：
f(n) = 2*f(n-1)
7) 得出最终结论,在n阶台阶，一次有1、2、...n阶的跳的方式时，总得跳法为：
| 1 ,(n=0 )
f(n) = | 1 ,(n=1 )
| 2*f(n-1),(n>=2)
class Solution {
public:
int jumpFloorII(int number) {
// f(n) = 2*f(n-1)
if (number <= 0) {
return -1;
} else if (number == 1) {
return 1;
} else {
return 2 * jumpFloorII(number - 1);
}
}
};python
# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def jumpFloorII(self, number):
# write code here
a=[1,2,4,8]
while(len(a)<number):
a.append(a[-1]*2)
return a[number-1]小矩形覆盖大矩形
class Solution {
public:
int rectCover(int number) {
if(number<=2) return number;
else
{
//f(3)=f(2)+f(1)
//f(4)=f(3)+f(2)
int one=2;
int two=1;
int result=3;
for(int i=2;i<number;i++)//3
{
result=one+two;
two=one;
one=result;
}
return result;
}
}
};python
# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
def rectCover(self, number):
# write code here
a=[0,1,2,3]
while(len(a)<=number):
a.append(a[-1]+a[-2])
return a[number]