bzoj 1492 [NOI2007]货币兑换Cash（斜率dp+cdq分治）

【题目链接】

　　http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1492

 

【题意】

　　有AB两种货币，每天可以可以付IPi元，买到A券和B券，且A:B=Ratei，也可以卖掉OPi%的A券和B券，每天AB价值为Ai和Bi。

　　开始有S元，n天后手中不能有AB券，问最大获益。

　　

【思路】

　　设f[i]表示前i天的最大收益。

　　第j天将手中的钱全部换掉，可以换成的B券数目Y(j)：f[j]*(1/(Rate[j]*A[j]+B[j]))

　　第j天将手中的钱全部换掉，可以换成的A券数目X(j)：f[j]*(Rate[j]/(Rate[j]*A[j]+B[j]))

　　第i天将第j天的AB券全部卖掉：A[i]*X(j)+B[i]*Y(j)

　　则 f[i]=max{ f[i-1],A[i]*X(j)+B[i]*Y(j) }

　　则我们需要求 max p=A[i]*X(j)+B[i]*Y(j)

　　即我们要最大化直线方程Y(j)=-A[i]/B[i]*X(j)+p/B[j]的截距

　　设X(j)<X(k)，当k比j更优时需要满足slop(j,k)>-A[i]/B[i]

　　注意不能用单调队列维护因为x和斜率不是单调的。

　　我们需要维护一个上凸壳，可以使用splay（我不会=_=

　　考虑CDQ分治：

　　把每天看作一个点。将点按照-a/b升序排列。

　　定义sovle(l,r)为解决l,r内的所有询问，且保证solve结束后点按照x,y升序排列。

　　1.按照点的查询顺序分成[l,mid]与[mid+1,r]

　　2.递归处理左区间

　　3.此时左区间已经按照x,y排好序，扫一遍求出左区间的下凸线

　　4.计算左区间对右区间的影响。此时右区间按照-a/b升序排列，扫一遍更新右区间答案。

　　5.递归处理右区间

　　6.将区间按照x,y升序排列

【资源链接】

　　cdq论文->click here

【代码】

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int N = 1e5+10;
const double inf = 1e20;
const double eps = 1e-8;

struct Pt {
    double x,y,a,b,k,r;
    int id;
    bool operator < (const Pt& rhs) const {
        return k>rhs.k;
    }
}p[N],t[N];

double f[N];
int n,top,st[N];

double slop(int a,int b)
{
    if(!b) return -inf;
    if(fabs(p[a].x-p[b].x)<eps) return inf;
    return (p[b].y-p[a].y)/(p[b].x-p[a].x);
}
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r) {
        f[l]=max(f[l],f[l-1]);
        p[l].y=f[l]/(p[l].a*p[l].r+p[l].b);
        p[l].x=p[l].y*p[l].r;
        return ;
    }
    int mid=(l+r)>>1,j=1,l1=l,l2=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++) {
        if(p[i].id<=mid) t[l1++]=p[i];
        else t[l2++]=p[i];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) p[i]=t[i];
    solve(l,mid);
    top=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++) {
        while(top>1&&slop(st[top-1],st[top])<slop(st[top-1],i)+eps) top--;
        st[++top]=i;
    }
    st[++top]=0;
    for(int i=mid+1;i<=r;i++) {
        while(j<top&&slop(st[j],st[j+1])+eps>p[i].k) j++;
        f[p[i].id]=max(f[p[i].id],p[st[j]].x*p[i].a+p[st[j]].y*p[i].b);
    }
    solve(mid+1,r);
    l1=l,l2=mid+1;
    for(int i=l;i<=r;i++) {
        if(((p[l1].x<p[l2].x||(fabs(p[l1].x-p[l2].x)<eps&&p[l1].y<p[l2].y))||l2>r)&&l1<=mid)
            t[i]=p[l1++];
        else t[i]=p[l2++];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++) p[i]=t[i];
}

int main()
{
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        scanf("%lf%lf%lf",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].r);
        p[i].k=-p[i].a/p[i].b; p[i].id=i;
    }
    sort(p+1,p+n+1);
    solve(1,n);
    printf("%.3lf",f[n]);
    return 0;
}