bzoj 1096 [ZJOI2007]仓库建设（关于斜率优化问题的总结）

 

1096: [ZJOI2007]仓库建设

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Description

L 公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。 由于这座山处于高原内陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象部门的电话，被告知三天 之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已 有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设置在 山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立 的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到以下数据： 工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;  工厂i目前已有成品数量Pi;  在工厂i建立仓库的费用Ci; 请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Source

【思路】

       斜率优化+DP。

       转移方程式：

           f[i]=min{ f[j]+p[j+1](x[i]-x[j+1])+p[j+2]*(x[i]-x[j+2]+…p[i](x[i]-x[i]))+C[i] }

                 =min{ f[j]-(Cpx[i]-Cpx[j])+(Cp[i]-Cp[j])*x[i] +C[i]}

                 =min{ (f[j]+Cpx[j])-(X[i]*p[j]) }+C[i]-Cpx[i]+X[i]*Cp[i]

       其中定义Cpx[]表示p*X的前缀和，Cp表示p的前缀和。

       设y(j)=f[j]+Cpx[j]，a(i)=X[i]，x(j)=Cp[j]，则有

             f[i]=(min p = y(j)-a(i)*x(j)) +C[i]-Cpx[i]+X[i]*Cp[i]

       括号中的式子可以看作一条直线，其中a(i)为i下的常数，x(j)与y(j)都可以在常数时间下确定，而且x与直线斜率都是单调递增的，如果以x y建立坐标轴的话，则问题变成已知一条直线的斜率和一堆点，求y轴上的最小截距。

       可以通过维护一个下凸包完成，构造一个单调队列，对应该斜率下的直线，从队首维护最优性(p的大小)，从队尾维护凸包。

       如下：

      

/////////////////
//根据当前直线计算p 维护队首的最优性
while(L<R && q[L].y-q[L].x*X[i] >= q[L+1].y-q[L+1].x*X[i]) L++;

///////////////

now.x=Cp[i];                                                 //计算当前点        
now.y=q[L].y-q[L].x*X[i]+C[i]+X[i]*Cp[i];
while(L<R && cross(q[R-1],q[R],now)<=0) R--;                 //维护与插入当前点 
q[++R]=now;

【代码1】

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL; 
const int N = 1000000+10;
struct point { LL x,y;
}q[N],now;
int n,L,R;
LL p,Cpx[N],Cp[N],C[N],X[N],f[N];

LL cross(point a,point b,point c) {
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}
void read(LL& x) {
    char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar();
    x=0; while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0' , c=getchar();
}
int main() {
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        read(X[i]),read(p),read(C[i]);
        Cp[i]=Cp[i-1]+p; Cpx[i]=Cpx[i-1]+p*X[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        while(L<R && q[L].y-q[L].x*X[i] >= q[L+1].y-q[L+1].x*X[i]) L++;
        now.x=Cp[i];
        now.y=q[L].y-q[L].x*X[i]+C[i]+X[i]*Cp[i];
        //f[i]=now.y-Cpx[i];
        while(L<R && cross(q[R-1],q[R],now)<=0) R--;
        q[++R]=now;
    }
    printf("%lld",q[R].y-Cpx[n]);
    return 0;
}

【代码2】

//slop计算相对慢一些 
#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;

typedef long long LL; 
const int N = 1000000+10;
int n,L,R,q[N];
LL p,Cpx[N],Cp[N],C[N],X[N],f[N];
double slop(int k,int j) {
    return (f[j]-f[k]+Cpx[j]-Cpx[k])/(double)(Cp[j]-Cp[k]); 
} 
void read(LL& x) {
    char c=getchar(); while(!isdigit(c)) c=getchar();
    x=0; while(isdigit(c)) x=x*10+c-'0' , c=getchar();
}
int main() {
    scanf("%d",&n); 
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        read(X[i]),read(p),read(C[i]);
        Cp[i]=Cp[i-1]+p; Cpx[i]=Cpx[i-1]+p*X[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        while(L<R && slop(q[L],q[L+1])<X[i]) L++;
        int t=q[L];
        f[i]=f[t]-Cpx[i]+Cpx[t]+(Cp[i]-Cp[t])*X[i]+C[i];
        while(L<R && slop(q[R-1],q[R])>slop(q[R],i)) R--;
        q[++R]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}

以上两种写法

【代码2理解】　

　　知：f[i]=min{ (f[j]+Cpx[j])-(X[i]*p[j]) }+C[i]-Cpx[i]+X[i]*Cp[i]

　　若有两个决策j和k且j>k，若决策j优于决策k，则有

　　　　f[j]-f[k]+Cpx[j]-Cpx[k]<(Cp[j]-Cp[k])*X[i]

　　根据斜率判断决策哪个更优。