NOI题库192 生日蛋糕

192:生日蛋糕

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描述

7月17日是Mr.W的生日，ACM-THU为此要制作一个体积为Nπ的M层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。
设从下往上数第i(1 <= i <= M)层蛋糕是半径为Ri, 高度为Hi的圆柱。当i < M时，要求Ri > Ri+1且Hi > Hi+1。
由于要在蛋糕上抹奶油，为尽可能节约经费，我们希望蛋糕外表面（最下一层的下底面除外）的面积Q最小。
令Q = Sπ
请编程对给出的N和M，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri和Hi的值），使S最小。
（除Q外，以上所有数据皆为正整数）

输入

有两行，第一行为N（N <= 10000），表示待制作的蛋糕的体积为Nπ；第二行为M(M <= 20)，表示蛋糕的层数为M。

输出

仅一行，是一个正整数S（若无解则S = 0）。

样例输入

100

2

样例输出

68

提示

圆柱公式
体积V = πR²H
侧面积A' = 2πRH
底面积A = πR²

来源

Noi 99

【思路】

  搜索+剪枝。

  依次搜索每一层的高度与半径。三个剪枝策略如下：

    //这里用到的三个剪枝
    //sums + mins[deep]> best 表示以前的到的deep + 1层到 m 层的表面积加上从顶层到deep层的最小表面积如果都大于了已经得到的best,那么1到deep层是无论半径和高度取何值都是无效的
    //sumv + minv[deep] > n同理
    // 2 * (n - sumv) / r + sums >= best 这是该题的精髓，如果没有的话会造成超时，是为了把sumv和sums联系起来，原因如下:
    // 假设能够得到best时(为什么这样假设呢，因为如果得不到的话那么就已经被第一个剪枝滤去了,所以在第三个剪枝验证时表示已经通过了第一个剪枝的要求)，
    // n - sumv = h[1] * r[1] * r[1] + ... + h[deep] * r[deep] * r[deep] < h[1] * r[1] * r + ... + h[deep] * r[deep] * r （因为r是deep + 1层的半径）
    //其中h[1]...h[deep]表示在函数的形参情况下，1到deep层应该取得h值，r[1]同理
    // 两边同时处以r 再乘以2得 2 * (n - sumv) / r < 2 * (h[1] * r[1] + ... + h[deep] * r[deep]) 
    // 2 * (n - sumv) / r < best - sums
    // 2 * (n - sumv) / r + sums < best 成立 ，则可得剪枝条件

【代码】

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;

using namespace std;

const int maxn = 20+5;
const int INF=1e9;

int minv[maxn],mins[maxn];
int n,m,ans;

void init() {
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;
        mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;
    }
}

void dfs(int dep,int v,int r,int h,int S) {
    if(!dep) {
        if(v==n&&S<ans) ans=S;
        return ;
    }
    if(S+mins[dep]>ans || v+minv[dep]>n ||(2 * (n - v) / r + S >= ans) ) return ;
    
    for(int nowr=r-1;nowr>=dep;nowr--) {
        if(dep==m) S=nowr*nowr;
        int maxh=min(h-1,n-v-minv[dep-1]/nowr*nowr);
        for(int nowh=maxh;nowh>=dep;nowh--)
        {
            dfs(dep-1,v+nowr*nowr*nowh,nowr,nowh,S+2*nowr*nowh);
        }
    }
}

int main() {
    cin>>n>>m;
    init();
    ans=INF;
    dfs(m,0,sqrt(n),n+1,0);  //当只有一层时得到 R H 上限 
    if(ans==INF) cout<<0;
    else cout<<ans;
    return 0;
}