vijosP1447 开关灯泡

vijosP1447 开关灯泡

链接：https://vijos.org/p/1447

【思路】

  数学+高精度。

  分析题目：题中有言，i时刻将其所有倍数的灯熄灭，由此得知一个数有多少个倍数就会被操作多少次，因为初始全部熄灭，所以操作数为奇的灯最后会亮着，再进一步，只有序号为平方数的灯在最后会亮着。

  由此题目转化为求n以内平方数的个数，个数为sqrt(n)个（别问我怎么知道的=_=）

  数据范围要求我们用到高精。至此，题目就是对一个大数开方的问题，NOIP的初赛曾出现过这个程序。

【代码】

  

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

const int maxn = 200+10;
struct Bign{
    int len;
    int num[maxn];
    Bign() {  memset(num,0,sizeof(num)); }
};

Bign goal;

Bign times(Bign a,Bign b) {
    Bign c;
    c.len=a.len+b.len+2;
    for(int i=0;i<a.len;i++)
      for(int j=0;j<b.len;j++)
        c.num[i+j] += a.num[i]*b.num[j];
    for(int i=0;i<c.len-1;i++) {
        c.num[i+1] += c.num[i]/10;
        c.num[i] %= 10;
    }
    while(c.num[c.len-1]==0) c.len--;
    return c;
}

Bign average(Bign a,Bign b) {
    Bign c; c.len=max(a.len,b.len);
    for(int i=0;i<c.len;i++) {
        c.num[i] += a.num[i]+b.num[i];
        c.num[i+1] += c.num[i]/10;
        c.num[i] %= 10;
    }
    
    if(c.num[c.len]) c.len++;
    for(int i=c.len-1;i;i--) {
        c.num[i-1] += (c.num[i]%2) *10;
        c.num[i] /= 2;
    }
    c.num[0]/=2;
    if(c.num[c.len-1]==0) c.len--;
    return c;
}

Bign plustwo(Bign a) {
    a.num[0] += 2;
    int i=0;
    while(i<a.len && a.num[i]>=10) {
        a.num[i+1] += a.num[i]/10;
        a.num[i] %= 10;
        i++;
    }
    if(a.num[a.len]) a.len++;
    return a;
}

bool over(Bign a,Bign b) {
    if(a.len>b.len) return true;
    else if(a.len<b.len) return false;
    
    for(int i=a.len;i>=0;i--) //倒序 
      if(a.num[i]>b.num[i]) return true;
      else if(a.num[i]<b.num[i]) return false;
    
    return false;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    string s;
    cin>>s;
    goal.len=s.size();
    for(int i=0;i<goal.len;i++) goal.num[i]=s[goal.len-1-i]-'0';
    Bign L , R=goal , M;
    L.len=1; L.num[0]=1;
    do
     {
           M=average(L,R);
           if(over(times(M,M),goal)) R=M;
           else L=M;
    } while(! over(plustwo(L),R)) ;
    for(int i=L.len-1;i>=0;i--) cout<<L.num[i];
    return 0;
}