NOIP2002 矩形覆盖

题四 矩形覆盖（存盘名NOIPG4）

[问题描述]:

　　在平面上有 n 个点（n <= 50），每个点用一对整数坐标表示。例如：当 n＝4 时，4个点的坐标分另为：p1（1，1），p2（2，2），p3（3，6），P4（0，7），见图一。

　　这些点可以用 k 个矩形（1<=k<=4）全部覆盖，矩形的边平行于坐标轴。当 k=2 时，可用如图二的两个矩形 sl，s2 覆盖，s1，s2 面积和为 4。问题是当 n 个点坐标和 k 给出后，怎样才能使得覆盖所有点的 k 个矩形的面积之和为最小呢。约定：覆盖一个点的矩形面积为 0；覆盖平行于坐标轴直线上点的矩形面积也为0。各个矩形必须完全分开（边线与顶点也都不能重合）。

[输入]:

　　键盘输人文件名。文件格式为

　　　n k

　　　xl y1

　　　x2 y2

　　　... ...

　　　xn yn （0<=xi,yi<=500)

[输出]:

　　输出至屏幕。格式为：

　　一个整数，即满足条件的最小的矩形面积之和。

[输入输出样例]

d.in :

　4 2

　1 1

　2 2

　3 6

　0 7

屏幕显示：

4

【思路】

  回溯法。

  搜索依次确定每个点属于哪一个矩形，时间复杂度为O(50^4)。最优解剪枝+如果相交则剪枝。

  在网上看到了DP的做法:

   f[i][j][k]=min{ f[i][l][k-1]+S(l+1,j) }

　算法并不完美（只出现了矩形包含的点连续的情况，还有可能不连续），因为数据比较弱所以才能AC，但不失为一种可以借鉴的思路。

【dfs代码】

#include<iostream>
#include<cstring>
#define FOR(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
using namespace std; 

const int maxn = 50+10;
struct Matrix{
    int a,b,c,d;
    bool flag;
    Matrix() { flag=false; }
}re[5];

int x[maxn],y[maxn];
int n,m,ans;

bool in(int x,int y,Matrix A) {
    return (x>=A.a && x<=A.b && y>=A.c && y<=A.d);
}

bool can(int i,int j) {
    bool ans=0;
    if(in(re[i].a,re[i].c,re[j])) return 1;
    if(in(re[i].a,re[i].d,re[j])) return 1;
    if(in(re[i].b,re[i].c,re[j])) return 1; 
    if(in(re[i].b,re[i].d,re[j])) return 1;
    return 0;
}

void dfs(int d) {
    Matrix tmp;
    int sum=0;
    FOR(i,1,m)
      if(re[i].flag) 
      {
          sum += (re[i].b-re[i].a)*(re[i].d-re[i].c);
          FOR(j,i+1,m)
             if(re[j].flag && (can(i,j))) return ;
      }
    
    if(sum>=ans) return ;
    if(d>n) {  ans=sum; return ; }
    FOR(i,1,m) {
        tmp=re[i];
        if(!re[i].flag) {
            re[i].flag=1;
            re[i].a=re[i].b=x[d];
            re[i].c=re[i].d=y[d];
        }
        else {
            re[i].a=min(re[i].a,x[d]);
            re[i].b=max(re[i].b,x[d]);
            re[i].c=min(re[i].c,y[d]);
            re[i].d=max(re[i].d,y[d]);
        }
        dfs(d+1);
        re[i]=tmp;
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>m;
    FOR(i,1,n)  cin>>x[i]>>y[i];
    ans=1e9;
    dfs(1);
    cout<<ans;
    return 0;
}

【dp代码】

#include<iostream>
#define Max 1000000
using namespace std;

int n,m,ans=Max,x[52],y[52],f[52][52][5]={0};

int High(int i,int j){
    int maxh=0,minh=1000,temp=i;
    while(temp<=j)
    maxh=max(maxh,y[temp++]);
    temp=i;
    while(temp<=j)
    minh=min(minh,y[temp++]);
    return maxh-minh;
}


void Dp(){
     for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int j=1;j<=n;++j)
     for(int k=2;k<=m;++k)
     f[i][j][k]=Max;
     
     for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int j=i+1;j<=n;++j)
     f[i][j][1]=(x[j]-x[i])*High(i,j);
     for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int k=1;k<=m;++k)
     f[i][i][k]=0;
     
     for(int k=2;k<=m;++k)
     for(int i=1;i<=n;++i)
     for(int j=i+1;j<=n;++j)
     for(int l=i+1;l<=j;++l)
     f[i][j][k]=min(f[i][j][k],f[i][l-1][k-1]+(x[j]-x[l])*High(l,j));

     ans=min(ans,f[1][n][m]);
}

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    cin>>x[i]>>y[i];
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=i+1;j<=n;++j)
    if(x[i]>x[j]) {swap(x[i],x[j]);swap(y[i],y[j]);}
    else if(x[i]==x[j]&&y[i]>=y[j]) swap(y[i],y[j]);
    
    Dp();    
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    swap(x[i],y[i]);
    
    for(int i=1;i<=n;++i)
    for(int j=i+1;j<=n;++j)
    if(x[i]>x[j]) {swap(x[i],x[j]);swap(y[i],y[j]);}
    else if(x[i]==x[j]&&y[i]>=y[j]) swap(y[i],y[j]);
    
    Dp();    
    
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
    
    }