间断捕捉格式介绍

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间断捕捉格式（Shock Capturing Method）

在计算流体力学中，间断捕捉格式是指能够计算包含激波的无粘流体一系列数值方法。计算包含激波的流体是一项特别困难工作，因为在压力，温度，密度和流速结果中会包含快速，甚至间断的物理量变化情况。

介绍

在间断捕捉方法中，无粘流体使用守恒形式控制方程进行描述，任何激波与间断都在计算场中一起求解。针对激波本身没有采用任何特殊处理方法。这种方法与激波匹配方法完全相反，另一种方法是将利用激波近似关系（Rankine-Hugoniot relations）将其显式的引入结果中。
激波捕捉方法比起精细的激波匹配方法更为简单。然而，使用激波捕捉方法模拟的激波变化不那么剧烈，而且厚度可能有多个网格节点，并且传统的激波捕捉方法也有在大梯度或间断位置容易产生非物理振荡（Gibbs 现象）的缺点。

Euler方程

Euler方程是无粘流体控制方程。为了应用激波捕捉方法，Euler方程通常使用守恒形式。对于没有热交换与做功的流体（能量守恒），笛卡尔坐标系下的守恒形式的Euler方程可以写为

[egin{equation} frac{partial U}{partial t} + frac{partial F}{partial x} + frac{partial G}{partial y} + frac{partial H}{partial z} = 0 end{equation}]

欧拉方程可以使用间断捕捉方法进行积分求解。

传统与现代间断捕捉格式

从过去到现在，间断捕捉方法可分为两大类：即，古典方法和现代间断捕捉方法（也称为高分辨率方案）。现代间断捕捉方法一般使用迎风格式，而过去多采用经典的对称或中心离散方法。迎风型差分方法试图通过基于由特征速度的符号来离散双曲型偏微分方程。另一方面，对称或中心格式则不考虑有关在离散过程中波传播方向的任何信息。

不管是什么类型的间断捕捉方法，都需要一定量的数值耗散以保证在激波存在时格式的数值稳定，以避免非物理数值振荡的形成。在传统激波捕捉方法中，数值耗散项通常是线性且均匀的添加在所有网格点上。传统的间断捕捉方法只能在光滑与弱间断情况下得到精确的结果，当强间断的激波出现在解中时，非线性的不稳定性和振荡可能在间断处出现。而现代间断捕捉方法具有自动回馈机制来添加非线性数值耗散项，用它根据结果的梯度调整网格上添加耗散（系数）大小。这些格式已被证明是稳定的和准确的，即使是计算包含强激波问题。

一些著名的经典间断捕捉方法，如 MacCormack 方法（使用离散格式求解双曲型偏微分方程的数值解），Lax-Wendroff 方法（基于有限差分方法，采用数值方法求解双曲型微分方程）和 Beam-Warming 方法。现代间断捕捉机制的例子包括高阶总变差减小（TVD）格式，最早由 Harten 提出，Boris 和 Book 推出的通量校正传输方法（FCT），van Leer 根据 Godunov 方法提出的 MUSCL 格式，由 Harten 提出的各种本质无振荡格式（ENO），以及Woodward 与 Colella 提出的分段抛物线法（PPM）。高分辨率方案的另一个重要的类型属于Roe 和 Osher 提出的近似黎曼算子方法。由 Jameson 和 Baker 提出的间断捕捉格式，其中线性数值耗散项依赖于非线性开关功能的方案，处于经典与现代方法之间。

参考资料

1. 书籍类

• Anderson, J. D., "Modern Compressible Flow with Historical Perspective", McGraw-Hill (2004).
• Hirsch, C., "Numerical Computation of Internal and External Flows", Vol. II, 2nd ed., Butterworth-Heinemann (2007).
• Laney, C. B., "Computational Gasdynamics", Cambridge Univ. Press 1998).
• LeVeque, R. J., "Numerical Methods for Conservation Laws", Birkhauser-Verlag (1992).
• Tannehill, J. C., Anderson, D. A., and Pletcher, R. H., "Computational Fluid Dynamics and Heat Transfer", 2nd ed., Taylor & Francis (1997).
• Toro, E. F., "Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics", 2nd ed., Springer-Verlag (1999).

2. 科技论文

• Boris, J. P. and Book, D. L., "Flux-Corrected Transport III. Minimal Error FCT Algorithms", J. Comput. Phys., 20, 397–431 (1976).
• Colella, P. and Woodward, P., "The Piecewise parabolic Method (PPM) for Gasdynamical Simulations", J. Comput. Phys., 54, 174–201 (1984).
• Godunov, S. K., "A Difference Scheme for Numerical Computation of Discontinuous Solution of Hyperbolic Equations", Math. Sbornik, 47, 271–306 (1959).
• Harten, A., "High Resolution Schemes for Hyperbolic Conservation Laws", J. Comput. Phys., 49, 357–293 (1983).
• Harten, A., Engquist, B., Osher, S., and Chakravarthy, S. R., "Uniformly High Order Accurate Essentially Non-Oscillatory Schemes III", J. Comput. Phys., 71, 231–303 (1987).
• Jameson, A. and Baker, T., "Solution of the Euler Equations for Complex Configurations", AIAA Paper, 83–1929 (1983).
• MacCormack, R. W., "The Effect of Viscosity in Hypervelocity Impact Cratering", AIAA Paper, 69–354 (1969).
• Roe, P. L., "Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors and Difference Schemes", J. Comput. Phys. 43, 357–372 (1981).
• Shu, C.-W., Osher, S., "Efficient Implementation of Essentially Non-Oscillatory Shock Capturing Schemes", J. Comput. Phys., 77, 439–471 (1988).
• van Leer, B., "Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme V; A Second-order Sequel to Godunov's Sequel", J. Comput. Phys., 32, 101–136, (1979).