好久没更文了，就随便写点东西吧，虽然有点水。
所谓「辅助角公式」就是中学数学里面一个平淡无奇的公式：
( Acos{t}+Bsin{t} = sqrt{A^2+B^2} cos(t-arctan{frac{B}{A}}) ;;; (A>0) )
或
( Asin{t} + Bcos{t} = sqrt{A^2+B^2} sin(t+arctan{frac{B}{A}}) ;;; (A>0) )
对于这个公式，我们的解释一般是「提出 ( sqrt{A^2+B^2} ), 凑出两角和公式」。
然而这对与几何迷来说并不能满意对吧？
现在我们就来谈谈几何意义。
如果用复数来解释倒是很容易，不过那就开挂了。
所以我打算在实数范围内就把问题说清楚。
刚才的公式里面，我为什么不把变量写成 (x), 而是写成 (t) 呢？
这是因为，从运动的角度来看，可以更好地理解三角函数。
比如说，还有一套三角函数的基本公式叫做诱导公式。
其中有这么一条：
( sin(x+frac{pi}{2})=cos{x} )
刚学这个公式的时候我就想，正弦一平移就变成了余弦。
这就说明正弦和余弦的函数图像都是一样的。
也就是说，正弦和余弦本质上并没有什么区别。
当时觉得这相当匪夷所思。
后来就明白了。
如果从运动的角度来考虑，假设有一个点以 1 rad/s 沿单位圆（(x^2+y^2=1)）做圆周运动，坐标为 ( (cos{t},sin{t}) ).
那么，正弦就是这个运动在 y 轴上的投影，余弦就是在 x 轴上的投影。
x 轴和 y 轴只不过是过原点的有向直线中的两条罢了。
过原点还有无数条有向直线。
因为圆是完美对称的，所以这些直线其实没有高低贵贱之分。
如果把这个点投影到每条直线上，
那么每一个投影，都是圆周运动的投影，都是简谐运动。
这些运动也没有高低贵贱之分。
只不过初相位不同罢了。
x 轴和 y 轴当然也不例外。
然后我们再回来看辅助角公式。
( Acos{t}+Bsin{t} = sqrt{A^2+B^2} cos(t-arctan{frac{B}{A}}) ;;; (A>0) )
右边是一个简谐运动，那么左边也是。
这说明左边也是一个圆周运动的投影。
投影。
想到了什么？
点积。
( Acos{t}+Bsin{t} )
( = (A,B) cdot (cos{t},sin{t}) )
( = sqrt{A^2+B^2}cdotmathrm{proj}((cos{t},sin{t}) ightarrow (A,B)) )
看看这个式子，再看看下面这张图，是不是有种恍然大悟的感觉？
( arctan{frac{B}{A}} ) 正是 ( (A,B) ) 与 (x) 轴之间的夹角。
所以这个简谐运动比 (x) 轴上的投影慢了 ( arctan{frac{B}{A}} ) 个相位。
因此它的表达式就是 ( cos(t-arctan{frac{B}{A}}) ).
这是表示成余弦。
要表示成正弦也可以。
我们再作一个 ( (B,A) ) 向量。
此时 ( A sin{t} + B cos{t} = (B,A) cdot (cos{t},sin{t}) ).
由于 ( (B,A) ) 跟 ( (A,B) ) 是关于直线 ( y=x) 对称的，
所以 ( (B,A) ) 和 (y) 轴之间的夹角同 ( (A,B) ) 和 (x) 轴之间的夹角是相等的，
也就是 ( arctan{frac{B}{A}} ).
但是夹角的方向是相反的。
所以这个简谐运动比 (y) 轴上的投影快了 ( arctan{frac{B}{A}} ) 这么多。
因此它的表达是就是 ( sin(t+arctan{frac{B}{A}}) ).
最后补充一下，公式中 (A>0) 的条件是为了保证 (arctan) 函数能够返回正确的角度。
（完）