d, d, d, d, 一本高数，整天 (mathrm{d}) 来 (mathrm{d}) 去。
可是这个 (mathrm{d}x) 到底是什么意思？你可能会说：这还不简单，不就是 (x) 的微分嘛？
好好好，听你的，(mathrm{d}x) 是 (x) 的微分。既然是这样，那么 (mathrm{d}x) 必有以下性质：
(1) 一般情况下，它不是零，可以作分母
(2) 同样的 (mathrm{d}x) 可以约掉
这显然是对的吧？ (^_^)/
……
然而这就引发了一些迷之问题。
比如说有这么一道题：
设
( left{egin{matrix}
x = t^2
\
y = t^4
end{matrix}
ight. )
求
( frac{mathrm{d^2}y}{mathrm{d}x^2} ) （即 (y'')）
当然，此题 so easy, 一眼就能看出 (y=x^2), 所以 (y'=2x), (y''=2), 最后跟 (t) 也没什么关系。
结果就是一个常数 (2).
但是，请看下面的推导过程：
首先，由定义知：
( frac{mathrm{d^2}y}{mathrm{d}x^2}=frac{mathrm{d^2}y}{(mathrm{d}x)^2} )
然后，分子分母同除以 ((mathrm{d}t)^2), 得：
( frac{mathrm{d^2}y}{mathrm{d}x^2}=frac{frac{mathrm{d^2}y}{(mathrm{d}t)^2}}{frac{(mathrm{d}x)^2}{(mathrm{d}t)^2}} )
( = frac{frac{mathrm{d^2}y}{mathrm{d}t^2}}{(frac{mathrm{d}x}{mathrm{d}t})^2} )
( = frac{y_t''}{(x_t')^2} )
( = frac{(4t^3)'}{(2t)^2} )
( = frac{12t^2}{4t^2} )
( = 3 )
这又说明结果是 (3). 这个推导过程看起来毫无毛病。难道 (2=3)? 这岂不是胡扯？问题出在哪？
还有更诡异的事情，就是链式法则和换元积分法的证明。
( frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}=frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}t}cdotfrac{mathrm{d}t}{mathrm{d}x} )
上面这个式子，证明写了一坨。可是既然微分不是零，也不是什么特殊的东西，那么为什么不能把分子分母两个 (mathrm{d}t) 直接 消 掉 呢？
还有：
( int f(u)mathrm{d}u = int f(g(x))g'(x)mathrm{d}x ), 其中 (u = g(x)).
这一条式子证明也写了一坨。可是既然 ( mathrm{d}u=g'(x)mathrm{d}x ) 为什么不直接 代 入 ，一步得证呢？
怪，怪，怪！
到 底 是 怎 么 了 ？
我想编课本的人心里肯定清楚是怎么了。
可是就是太懒了，不愿意解释。
问题的关键就在于，有的 (mathrm{d}x) 根本就不是微分。（假的！）
所以看起来相等的东西，其实并不一定相等。
追本溯源，(y=f(x)) 对 (x) 的微分的定义如下：
( mathrm{d}y = f'(x)Delta x )
两边同除 (Delta x), 有：
( frac{mathrm{d}y}{Delta x} = f'(x) )
问题就这样出现了：左边式子上面是 (mathrm{d}x), 下面又变成了 (Delta x), 太不对称太不美观了。
所以既然 ( g(x)=x ) 的微分 ( mathrm{d}(x) ) 就等于 ( Delta x ), 那么干脆就直接把下面的 ( Delta x ) 写成 ( mathrm{d}x ) 好了：
( frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} = f'(x) )
这样一看就漂亮多了。
是啊，漂亮多了。
啊，漂亮多了。
，漂亮多了。
漂亮多了。
亮多了。
多了。
了。
。
等等！可是这样一来，同样写成 (mathrm{d}x) 的东西，意思就可能不一样了！一个 (mathrm{d}x) 到底是什么意思，就只能靠上下文来判断了！一不小心就出错了！还让人以为链式法则和换元积分是显然的！太可怕了！
回头看看刚才是怎么出错的。
为了区分不同的 (mathrm{d}x), 就得先改变一下记号。
下文中都按以下规则进行区分：
- 自变量的改变 (Delta x) 记作 (mathrm{d}_*x)
- 函数 (x=f(t)) 对 (t) 的微分记作 (mathrm{d}_t x)
- 对函数表达式的微分要加括号，如 (mathrm{d}_x (2x+1) = 2cdotmathrm{d}_*x), 还有 (mathrm{d}_x (x) = 1cdotmathrm{d}_*x)
还是那道求二阶导的题，从头开始重复那个错误的推导过程（看不清下标的话放大一下网页）：
( frac{mathrm{d^2}_x y}{mathrm{d}_* x^2} )
上下同除 ( (mathrm{d}_* t)^2 )
( = left ( frac{mathrm{d^2}_x y}{(mathrm{d}_* t)^2} ight ) / left ( {frac{(mathrm{d}_* x)^2}{(mathrm{d}_* t)^2}} ight ) )
( = left ( frac{mathrm{d^2}_x y}{mathrm{d}_* t^2} ight ) / left ({frac{mathrm{d}_* x}{mathrm{d}_* t}} ight ) ^2 )
左边（上边）不等于 (y_t''), 而 ( frac{mathrm{d^2}_t y}{mathrm{d}_* t^2} ) 才等于；右边（下边）也不等于 ((x_t')^2), 而 ( left ({frac{mathrm{d}_t x}{mathrm{d}_* t}} ight ) ^2 ) 才等于。所以原来那个看似合理的推导根本就是胡扯。
还有链式法则，区分一下 (mathrm{d}t) 的话是很容易知道不能通过约分证明的：
( frac{mathrm{d}_x y}{mathrm{d}_* x}=frac{mathrm{d}_t y}{mathrm{d}_* t}cdotfrac{mathrm{d}_x t}{mathrm{d}_* x} )
两边同乘 ( mathrm{d}_* x ), 可得等价形式：
( mathrm{d}_x y=frac{mathrm{d}_t y}{mathrm{d}_* t}cdotmathrm{d}_x t )
这即是所谓「一阶微分的形式不变性」。
再有就是换元积分：
( int f(u)mathrm{d}_* u = int f(g(x))g'(x)mathrm{d}_* x ), 其中 (u = g(x)).
或者说
( int f(u)mathrm{d}_* u |_{u=g(x)} = int f(u)mathrm{d}_x u ), 其中 (u = g(x)).
其中 (mathrm{d}_* u) 和 (mathrm{d}_x u) 当然不是一个东西，所以两边并不是显然相等。
左边的积分变量是 (u), 是对 (u) 的函数 (f(u)) 积分，得到 (u) 的函数，然后代入 (u=g(x)), 得到 (x) 的函数；
右边的积分变量是 (x), 是对 (x) 的函数 (f(u)u_x') 即 (f(g(x))g'(x)) 积分，得到 (x) 的函数。
所以是因为两边对 (x) 求导相等，即 ( frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} 左边 = frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u}左边cdot frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} u = f(u)u_x' = f(g(x))g'(x) = frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} 右边 ), 也就是链式法则成立，才能说两边相等的（实际上只能说是差一个常数，但是差一个常数就可以说两个不定积分相等了）。
总结一下：
一篇《孔乙己》，让我们知道了「茴」字一种意思有四种写法。
然而令人啧啧称奇的是，恰恰相反，数学符号「 (mathrm{d}x) 」，一种写法却有四种意思：
(1) (mathrm{d}_* x): 自变量的微小变化 (Delta x)
(2) (mathrm{d}_t x): 函数 (x) 对某个自变量（例如 (t)）的微分
(3) (mathrm{d}_x (x)): 函数 (f(x) = x) 的微分
(4) 导数算符 (frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}) 的一部分
其中 (3) 和 (1) 是相等的，但是虽然相等，意义却是完全不同的。(4) 和 (1) 可以看作是统一的，但是算符终究只是个算符。（某些教材）在定义微分之前，就把 ( frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}y ) 写成 ( frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} ), 个人认为这是一种事后诸葛，并不是很妥当。
要说为什么会变成这样，只有一个解释，那就是「懒」。毕竟多数情况下，心里清楚就不会搞混。这跟把 ((sin{x})^2) 写成 (sin^2{x}) 如出一辙。
最后不得不吐嘈，现在微积分的教学几乎是把数学教成算数。个人认为，会算导数，会算不定积分，并没有什么卵用，因为电脑既比人算得快，又比人算的准。人只有懂得数学的知识体系和思想方法，才能比电脑牛Ｂ. 一个符号的含义只能通过上下文来区分，这么重要的事情，（某些教材和老师）竟然不加以说明，后果就是学生们整天 d d d d d, 到头来却搞不明白 d 到底是什么东西，只是在按运算法则运算而已。