关于神经网络的几点思考：单层——多层——深度
神经网络本质上是一个逼近器，一个重要的基本属性就是通用逼近属性。
通用逼近属性：
1989年，George Cybenko发表文章“Approximation by Superpositions of a Sigmoidal Function”，文章证明在只有单个隐层的情况下，对于任何的连续的，非线性的sigmoidal函数，只要在隐藏层个数足够多的情况下，就能够很好的拟合任意的连续函数。
原文链接：http://www.dartmouth.edu/~gvc/Cybenko_MCSS.pdf
文章所阐述的通用逼近属性（UniversalApproximation Properties）是神经网络中非常重要的一个性质：一个单隐藏层的神经网络，如果神经元个数足够多，通过非线性的激活函数则可以拟合任意函数。这使得我们在思考神经网络的问题的时候，不需要考虑函数是否能够用神经网络拟合，只需要考虑如何用神经网络做到更好的拟合。
1991年Kurt Hornik提出：通用逼近属性并不是激活函数的具体选择，而是多层前馈结构本身，该结构使神经网络具有通用逼近器的性质。
原文链接：http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0893608089900208
单层神经网络的缺点：
1、我们的优化方法不一定能够找到我们所希望的优化参数，也就找不到我们需要的拟合函数，虽然这个拟合的函数是存在的；
2、训练结果好，但是泛化能力差，即很容易产生过拟合
深层神经网络（多层感知机）：
使用更深层的神经网络，可以得到更好的表达效果，这可以直观地理解为：在每一个网络层中，函数特点被一步步的抽象出来；下一层网络直接使用上一层抽象的特征进行进一步的线性组合。但是深层神经网络的缺点在于：
1、在面对大数据时需要人为提取原始数据的特征作为输入，这个尺度很难掌握，多层神经网络会把蹲在屋顶的Kitty和骑在猫奴头上的Kitty识别为不同的猫咪，又会把二哈和狼归类为同一种动物。前者是对不相关变量过于敏感，后者则因无法提取有实际意义的特征。
2、想要更精确的近似复杂的函数，必须增加隐藏层的层数，这就产生了梯度扩散问题。
3、无法处理时间序列数据（比如音频），因为多层神经网络不含时间参数。
深度学习模型：
2006年，文章“Reducing the Dimensionality with Neural Networks”在Nature上发表，掀起了深度学习在学术界和工业界的研究热潮。作者阐述了两个重要观点：一、多隐层的神经网络可以学习到能刻画数据本质属性的特征，对数据可视化和分类等任务有很大帮助；二、可以借助于无监督的“逐层初始化”策略来有效克服深层神经网络在训练上存在的难度。不断发展。
对于更为复杂的问题，多层神经网络是解决不了这些问题的，而深度模型是如何解决以上的缺陷的呢？
1、深度学习自动选择原始数据的特征，如卷积神经网络模型等，能有效提取特征值。
2、深度网络的学习算法不同于深层神经网络：一是改变网络的组织结构，比如用卷积神经网络代替全连接（full connectivity）网络，训练算法仍依据Backpropagatinggradients的基本原理。另一种则是彻底改变训练算法，比如Hessian-freeoptimization，recursive least-squares(RLS)算法等。
3、使用带反馈和时间参数的RNN网络处理时间序列数据。
参考：
1、http://deeplearning.cs.cmu.edu/pdfs/Cybenko.pdf
2、知乎https://www.zhihu.com/question/26017374
3、 CSDNhttp://blog.csdn.net/zpcxh95/article/details/69952020?winzoom=1#21-通用逼近性质理论universal-approximation-propertiestheorem神经网络可以逼近任意函数