有一个长为 (n) 的环，一个指针从 (1) 开始移动，每次指针所在位置有 (p) 的概率消失掉， 然后指针向右移动。求每个点是最后消失的概率。
(nleqslant 2 imes10^5)
考虑一个点消失后并不将其从环上移除，只是下次其被消失时不操作，这样和原问题是等价的。
为方便推导，设 (q=1-p)。设 (f_n) 为环长为 (n) 时，(1) 号点最后消失的概率，得：
[largeegin{aligned}
f_n&=sum_{i=0}^infty pq^i(1-q^i)^{n-1}\
&=psum_{i=0}^infty q^isum_{j=0}^{n-1}inom{n-1}{j}(-1)^jq^{ij}\
&=psum_{j=0}^{n-1}inom{n-1}{j}(-1)^jsum_{i=0}^infty q^{i(j+1)}\
&=psum_{j=0}^{n-1}inom{n-1}{j}(-1)^jfrac{1}{1-q^{j+1}}\
end{aligned}
]
卷积计算即可。得 (k) 号点最后消失的概率为：
[large sum_{i=0}^{k-1}inom{k-1}{i}p^iq^{k-1-i}f_{n-i}
]
同样卷积计算即可。