• 题解 洛谷 P5465 【[PKUSC2018]星际穿越】


    首先考虑题目的性质,发现点向区间连的边为双向边,所以也就可以从一个点向右跳到区间包含该点的点,如图所示:

    但事实上向后跳其实是不优的,可以有更好的方法来节省花费:

    因此我们发现一个点跳到其前一个区间的花费为 (1),且在跳跃过程中不会向右跳,同时我们还证明了一个点向左的花费单调递增。

    但是从起点进行第一步跳跃时,有可能会向后跳:

    其通过向后跳来到达一个更大的包含该点的区间,然后使下一步跳跃到达一个更向前的位置,第一步采取向后跳方案的花费为 (2)

    发现只有第一步是特殊的,所以单独来考虑第一步的情况。

    (pos_i=minlimits_{j=i}^n l_j),即 (l_i) 的后缀最小值,(pos_i) 即为位置 (i) 第一步采取向后跳方案来到达的最向前的位置。

    对每个位置建可持久化线段树,线段树中对应的值为该位置不考虑第一步的花费,位置 (i) 的线段树从位置 (pos_i) 转移过来,然后在区间 ([1,i-1]) 通过标记永久化来实现区间加一,表示不是第一步跳的花费。

    查询时只需在 (l_x) 所对应的线段树上查询区间 ([l,min(r,l_x-1)]) 的和,其为位置 (x) 除去第一步的总花费,然后再加上第一步花费的贡献即可。

    (code:)

    #include<bits/stdc++.h>
    #define maxn 300010
    #define maxm 10000010
    #define mid ((l+r)>>1)
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    template<typename T> inline void read(T &x)
    {
        x=0;char c=getchar();bool flag=false;
        while(!isdigit(c)){if(c=='-')flag=true;c=getchar();}
        while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=getchar();}
        if(flag)x=-x;
    }
    int n,q,tot;
    int a[maxn],pos[maxn],rt[maxn],ls[maxm],rs[maxm];
    ll sum[maxm],add[maxm];
    ll gcd(ll a,ll b)
    {
        return b?gcd(b,a%b):a;
    }
    void modify(int L,int R,int l,int r,int &cur)
    {
        int x=++tot;
        ls[x]=ls[cur],rs[x]=rs[cur],add[x]=add[cur];
        sum[x]=sum[cur]+(min(R,r)-max(L,l)+1),cur=x;
        if(L<=l&&R>=r)
        {
            add[cur]++;
            return;
        }
        if(L<=mid) modify(L,R,l,mid,ls[cur]);
        if(R>mid) modify(L,R,mid+1,r,rs[cur]);
    }
    ll query(int L,int R,int l,int r,int cur)
    {
        if(L>R) return 0;
        if(L<=l&&R>=r) return sum[cur];
        ll v=add[cur]*(min(R,r)-max(L,l)+1);
        if(L<=mid) v+=query(L,R,l,mid,ls[cur]);
        if(R>mid) v+=query(L,R,mid+1,r,rs[cur]);
        return v;
    }
    int main()
    {
        read(n);
        for(int i=2;i<=n;++i) read(a[i]),pos[i]=a[i];
        for(int i=n-1;i>=2;--i) pos[i]=min(pos[i],pos[i+1]);
        for(int i=2;i<=n;++i) rt[i]=rt[pos[i]],modify(1,i-1,1,n,rt[i]);
        read(q);
        while(q--)
        {
            int l,r,x;
            ll g,v;
            read(l),read(r),read(x),v=r-l+1;
            v+=query(l,min(r,a[x]-1),1,n,rt[a[x]]);
            g=gcd(v,r-l+1),printf("%lld/%lld
    ",v/g,(r-l+1)/g);
        }
        return 0;
    }
    
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