可以分别枚举两人正面朝上的次数来统计答案，所求即为
[sum_{i=0}^{a}sum_{j=0}^{b} inom{a}{i} inom{b}{j} [i>j]
]
将(i)替换为(i+j)来保证(i>j)
[ egin{aligned}
&sum_{i=0}^{a}sum_{j=0}^{b} inom{a}{i} inom{b}{j} [i>j] \
=&sum_{i=1}^{a}sum_{j=0}^{a-i} inom{a}{i+j} inom{b}{j} \
=&sum_{i=1}^{a}sum_{j=0}^{a-i} inom{a}{i+j} inom{b}{b-j}
end{aligned} ]
由范德蒙德卷积得
[ egin{aligned}
&sum_{i=1}^{a}sum_{j=0}^{a-i} inom{a}{i+j} inom{b}{b-j}\
=&sum_{i=1}^{a} inom{a+b}{b+i} \
=&sum_{i=b+1}^{a+b} inom{a+b}{i}
end{aligned} ]
直接求化简后的式子复杂度无法接受，但发现(a)和(b)的差值很小，所以将式子进一步转化得
[ egin{aligned}
&sum_{i=b+1}^{a+b} inom{a+b}{i} \
=&sum_{i=lceil frac{a+b}{2}
ceil}^{a+b} inom{a+b}{i}+sum_{i=b+1}^{lfloor frac{a+b}{2}
floor} inom{a+b}{i}
end{aligned} ]
第一项的值可以快速计算，当(a+b)为奇数时，其为(2^{a+b-1})，当(a+b)为偶数时，其为(2^{a+b-1}-frac{1}{2}inom{a+b}{frac{a+b}{2}})，第二项的值用扩展卢卡斯计算组合数即可。
用扩展卢卡斯计算组合数时，可以预处理阶乘和进行特判来优化。
(code:)
#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 2000010
#define inf 2000000000
using namespace std;
typedef long long ll;
ll a,b,t,k2,k5,mod,ans,x,y;
ll f[6][maxn];
ll exgcd(ll a,ll b)
{
if(!b)
{
x=1,y=0;
return a;
}
ll ans=exgcd(b,a%b),tmp=x;
x=y,y=tmp-a/b*y;
return ans;
}
ll inv(ll a,ll p)
{
if(!a) return 0;
exgcd(a,p);
return (x%p+p)%p;
}
ll qp(ll x,ll y,ll p)
{
ll v=1;
while(y)
{
if(y&1) v=v*x%p;
x=x*x%p,y>>=1;
}
return v;
}
ll fac(ll x,ll p,ll k)
{
if(!x) return 1;
return qp(f[p][k],x/k,k)*f[p][x%k]%k*fac(x/p,p,k)%k;
}
ll C(ll n,ll m,ll p,ll k,bool type)
{
if(n<m) return 0;
ll sum=0,v=1;
for(ll i=n;i;i=i/p) sum+=i/p;
for(ll i=m;i;i=i/p) sum-=i/p;
for(ll i=n-m;i;i=i/p) sum-=i/p;
if(type)
{
if(p==2) sum--;
else v=inv(2,k);
}
if(sum>=t) return 0;
return v*fac(n,p,k)%k*qp(p,sum,k)%k*inv(fac(m,p,k),k)%k*inv(fac(n-m,p,k),k)%k;
}
ll crt(ll x,ll p)
{
return x*inv(mod/p,p)%mod*(mod/p)%mod;
}
ll exlucas(ll n,ll m,bool type)
{
if(n<m) return 0;
return (crt(C(n,m,2,k2,type),k2)+crt(C(n,m,5,k5,type),k5))%mod;
}
void init()
{
f[2][0]=f[5][0]=1;
for(int i=1;i<=512;++i)
{
f[2][i]=f[2][i-1];
if(i&1) f[2][i]=f[2][i]*i%512;
}
for(int i=1;i<=1953125;++i)
{
f[5][i]=f[5][i-1];
if(i%5) f[5][i]=f[5][i]*i%1953125;
}
}
int main()
{
init();
while(scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&t)!=EOF)
{
mod=qp(10,t,inf),ans=qp(2,a+b-1,mod),k2=qp(2,t,inf),k5=qp(5,t,inf);
for(ll i=b+1;i<=(a+b)/2;++i) ans=(ans+exlucas(a+b,i,0))%mod;
if((a+b)%2==0) ans=(ans-exlucas(a+b,(a+b)/2,1)+mod)%mod;
printf("%0*lld
",t,ans);
}
return 0;
}