快速沃尔什变换

快速沃尔什变换支持多项式的位运算卷积

[C_i=sum_{joplus k = i}A_j imes B_k ]

(oplus)可以为(or,and,xor)

以(or)为例

(C_i=sumlimits_{j|k=i}A_jB_k)

令 (widehat{C}_i=sumlimits_{jsubseteq i}C_j)

(widehat{C}_i=sumlimits_{j|ksubseteq i}A_jB_k)

(widehat{C}_i=sumlimits_{jsubseteq i,ksubseteq i}A_jB_k)

(widehat{C}_i=widehat{A}_iwidehat{B}_i)

从 (A) 到 (widehat{A}) 的变换还有它的逆变换就是快速沃尔什变换进行的操作

可以发现或变换后所得的新的序列为是原序列的子集和

考虑将一个多项式(A)分为前半部分(A_0)和后半部分(A_1)，其中(A_0)的下标最高位为(0)，(A_1)的下标最高位为(1)，( ext{merge})表示将两个多项式拼接，可得

[or:FWT(A) = ext{merge}(FWT(A_0),FWT(A_0)+FWT(A_1)) ]

[UFWT(A) = ext{merge}(UFWT(A_0),UFWT(A_1)-UFWT(A_0)) ]

[and:FWT(A) = ext{merge}(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_1)) ]

[UFWT(A) = ext{merge}(UFWT(A_0)-UFWT(A_1),UFWT(A_1)) ]

[xor:FWT(A) = ext{merge}(FWT(A_0)+FWT(A_1),FWT(A_0)-FWT(A_1)) ]

[UFWT(A) = ext{merge}(frac{UFWT(A_0)+UFWT(A_1)}{2},frac{UFWT(A_0)-UFWT(A_1)}{2}) ]

(code:)

void FWT_or(ll *a,int type)
{
    for(int len=1;len<n;len<<=1)
        for(int i=0;i<n;i+=len<<1)
            for(int j=i;j<i+len;++j)
                a[j+len]=(a[j+len]+a[j]*type)%p;
}
void FWT_and(ll *a,int type)
{
    for(int len=1;len<n;len<<=1)
        for(int i=0;i<n;i+=len<<1)
            for(int j=i;j<i+len;++j)
                a[j]=(a[j]+a[j+len]*type)%p;
}
void FWT_xor(ll *a,int type)
{
    for(int len=1;len<n;len<<=1)
    {
        for(int i=0;i<n;i+=len<<1)
        {   
            for(int j=i;j<i+len;++j)
            {    
                ll x=a[j],y=a[j+len];
                a[j]=(x+y)%p,a[j+len]=(x-y)%p;
                if(type<0) a[j]=a[j]*inv%p,a[j+len]=a[j+len]*inv%p;
            }
        }
    }
}