群论

群

群表示一个拥有满足封闭性、满足结合律、有单位元、有逆元的二元运算的代数结构

设(G)是一个非空集合，(*)是它的一个二元运算，如果满足以下条件

封闭性：若(a,b∈G),则存在唯一的(c∈G)使得(a*b=c)

结合律成立：对(G)中任意元素(a,b,c)，都有((a*b)*c=a*(b*c))

单位元存在：(e∈G)，对任意(a∈G)，(e*a=a*e=a)

逆元存在：任意(a∈G)，存在(b∈G)，(a*b=b*a=e)

则称(G)对(*)构成一个群，通常称(G)上的二元运算为”乘法”

置换群

(n)元集合(A)到其自身的一个个映射，称为(A)上的一个置换

对一个有六个顶点的环来说

顺时针旋转一个单位后，会得到相应的置换

[inom{1 2 3 4 5 6}{2 3 4 5 6 1} ]

沿对称轴翻转后，也会得到相应的置换

[inom{1 2 3 4 5 6}{1 6 5 4 3 2} ]

置换群的元素是置换，运算时置换的连接，置换群是一个不满足交换律的群

(Burnside)引理

(4)个点的环，⿊⽩两种颜⾊，不考虑旋转，有16种染⾊⽅案，考虑旋转就只有6种

问题推广得(n)个点的环，(m)种颜⾊，求染色方案

若不考虑旋转，染色方案为(m^n)，若考虑旋转，可以用(Burnside)引理

比如解决上面的问题

设不考虑旋转的(16)种染⾊⽅案为集合(A)

置换群(G={p_0,p_1,p_2,p_3})，(p_x)代表对环旋转(x)次

设(c(p) = ∣{a ∈ A : p(a) = a}∣)，满⾜(p(a)=a)的点，叫做置换(p)下的不动点

(frac{1}{|G|}sumlimits_{p in G}c(p))即为答案

(c(p_0)=16,c(p_1)=2,c(p_2)=4,c(p_3)=2,|G|=4)

得考虑旋转染色方案数为(6)种

(Pólya)定理

[inom{1 2 3 4 5 6}{2 3 4 5 6 1} ]

[inom{1 2 3 4 5 6}{1 6 5 4 3 2} ]

对于这两个置换，可以将其用图的形式表示

发现第一个置换有一个环，第二个置换有四个环

对于一个置换(p)，若其循环节个数（环的个数）为(k)，颜色数为(m)，则(c(p)=m^k)

也就是一个环都要染成同一种颜色，对于旋转来说，旋转(k)次的置换环的个数为(gcd(k,n))

给一个(n)个点的环染色，有(m)种颜色，问有多少种染色方案是的旋转后本质不同

根据(Burnside)引理得

[ans=frac{1}{|G|}sumlimits_{p in G}c(p) ]

[=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^nm^{gcd(i,n)} ]

[=frac{1}{n}sum_{d|n}m^{d}sum_{i=1}^{frac{n}{d}}[gcd(frac{n}{d},i)=1] ]

[=frac{1}{n}sum_{d|n}m^{d}φ(frac{n}{d}) ]