• 组合数学


    排列数

    (A^m_n=n(n-1)(n-2) cdot cdot cdot(n-m+1) =frac{n!}{(n-m)!})

    组合数

    (C^m_n=C^m_{n-1}+C^{m-1}_{n-1})

    (C^m_n=C^{n-m}_{n})

    (C^m_n=frac{n}{m}×C^{m-1}_{n-1})

    (C^m_k×C^k_n=C^m_n×C^{n-k}_{n-m}(n-k<n-m))

    (displaystylesum_{i=1}^n C^i_n = 2^n)

    (displaystylesum_{i=0}^n (-1)^i×C^i_n=0)

    ((a+b)^n = displaystylesum_{i=0}^n C^i_na^{n-i}b^i)(二项式定理)

    (C^m_n=frac{A^m_n}{m!}=frac{n!}{m!(n-m)!}=fac_n×invf_m×invf_{n-m})

    阶乘预处理,逆元用费马小定理计算

    (Lucas)定理

    (C^m_n=C^{m mod p}_{n mod p}×C^{m/p}_{n/p})

    其中(p)为质数

    (code :)

    ll C(ll n,ll m)
    {
    	return n<m?0:((f[n]*qp(f[m],mod-2)%mod)*qp(f[n-m],mod-2))%mod;
    }
    ll lucas(ll n,ll m)
    {
    	return m?(C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod))%mod:1;
    }
    

    错排

    (D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}))

    (Catalan)

    (1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430......)

    (f(n)=sumlimits_{i=0}^{n-1}f(i)f(n-1-i)=C_{2n}^n - C_{2n}^{n + 1} = frac{C_{2n}^n}{n + 1} = frac{C_{2n}^{n + 1}}{n})

    (n imes n)⽹格,只能向上向右⾛,不能⾛到对⾓线上⽅,从((0,0))⾛到((n,n))
    ⽅案数

    (n)个元素的进出栈序列种类数

    (2n)⻓度的正确匹配的括号序列数

    (n)个节点的⼆叉树数⽬

    (n+1)条边的凸多边形三⾓剖分的数⽬

    (Stirling)

    第⼀类斯特林数(s(n,m))(n)个不同的物体,分成(m)个非空循环排列(圆排列)的⽅案数

    (s(n,m)=(n-1) imes s(n-1,m) + s(n-1,m-1))

    第⼆类斯特林数(S(n,m))(n)个不同的物体,分成(m)份的⽅案数,每份没有编号

    (S(n,m)=m imes S(n-1,m)+S(n-1,m-1))

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lhm-/p/12229538.html
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