• 牛顿迭代


    牛顿迭代法Newton's method

    又叫“牛顿-拉弗森方法”(Newton-Raphson method它是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法,方法是使用f(x)泰勒级数前几项来寻找f(y) = 0的根。

    原理

    对于非线性方程同样适用

    总之,牛顿迭代公式:

                 

    应用

    求某些方程的根

     1 double a, b, c, d;
     2 const double esp = 1e-6;
     3 
     4 double f(double x){
     5     return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
     6 }
     7 
     8 double fd(double x){
     9     return 3 * a * x *x + 2 * b * x + c;
    10 }
    11 
    12 //求解ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的一个根
    13 double newton(double x)
    14 {
    15     while (fabs(f(x)) > esp){x = x - f(x) / fd(x);}
    16     return x;
    17 }

    如果想求出一个范围内的所有的跟,则可以在该范围内枚举初始值x,来逼近根的值。

     1 #include<stdio.h>
     2 #include<iostream>
     3 #include<vector>
     4 using namespace std;
     5 
     6 double a, b, c,d;
     7 const int INF = 0x3f3f3f3f;
     8 const int maxn = 2;
     9 const double esp = 1e-6;
    10 double Abs(double x)
    11 {
    12     return x >= 0 ? x : -x;
    13 }
    14 double f(double x)
    15 {
    16     return a * x * x * x + b * x * x + c * x + d;
    17 }
    18 
    19 //需要f的导数在适当的区间内绝对值不大于于某个小于1的正数
    20 double fd(double x)
    21 {
    22     return 3 * a * x *x + 2 * b * x + c;
    23 }
    24 
    25 //求解ax^3 + bx^2 + cx + d = 0的所有根
    26 void newton()
    27 {
    28     vector<double>ans;
    29     //在一个大区域中逐个点用牛顿法,可找出大多数3次方程所有根   
    30     for (int x0 = -maxn; x0 < maxn; x0++)
    31     {
    32         double x1 = x0;
    33         int cnt = 0;   //迭代次数
    34         while (Abs(f(x1)) > esp)
    35         {
    36             if ((++cnt) > 10000)  break;   //迭代次数超过1000,认为方程无解
    37             double x = x1;
    38             x1 = x - f(x) / fd(x);
    39         }
    40         if (cnt > 10000)  continue;
    41         int flag = 0;
    42         for(int i = 0;i < ans.size();i++)
    43             if (Abs(ans[i] - x1) < 0.01)
    44             {
    45                 flag = 1;
    46                 break;
    47             }
    48         if (!flag && x1 < INF && x1 > -INF)  ans.push_back(x1);   //x1==inf || -inf是在极值点,并不一定是方程的根
    49     }
    50     if (ans.size() == 0)  printf("无解
    ");
    51     else
    52     {
    53         for (int i = 0; i < ans.size(); i++)
    54             printf("%lf  ", ans[i]);
    55         printf("
    ");
    56     }
    57 }
    58 
    59 int main()
    60 {
    61     while (scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d) == 4)
    62         newton();
    63 
    64     return 0;
    65 }
    View Code

    (这个代码测试起来有很多错误,有好的意见欢迎留言)

    高精度开根号

    对于一个已知的数 a,开根号本质上是求一个X,使得 X2=a,即X2 - a = 0的根。

    由前面易知迭代公式Xn+1 = Xn - (Xn2 - a) / 2Xn = (Xn + a / Xn) / 2。

    实际操作还需要套一个高精度除法。

    缺点

    并不能求解所有方程的根,而且得到的只是近似值,不是准确值。

    收敛的充分条件:

    若 f 二阶可导,那么在待求的零点 x 周围存在一个区域,只要起始点 x0 位于这个临近区域内,那么牛顿-拉弗森方法必定收敛。

    驻点

    从代数上看,导数为0,无法迭代出下一个值。

    越来越远的不收敛

    循环震荡的不收敛

    参考链接:

    https://blog.csdn.net/wubaizhe/article/details/75574798

    https://baike.baidu.com/item/牛顿迭代法/10887580?fr=aladdin#2

    https://zh.wikipedia.org/wiki/牛顿法

    https://www.zhihu.com/question/20690553

  • 相关阅读:
    爱她就用python给她画个小心心 ♥(ˆ◡ˆԅ)
    用python画小猪佩奇(非原创)
    (解释文)My SQL中主键为0和主键自排约束的关系
    (细节)My SQL中主键为0和主键自排约束的关系
    My SQL常用操作汇总
    博客搬运同步至腾讯云+社区声明
    mysql在ubuntu中的操作笔记(详)
    vim编辑器操作汇总
    linux常用命令汇总
    在python中单线程,多线程,多进程对CPU的利用率实测以及GIL原理分析
  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/lfri/p/9804801.html
Copyright © 2020-2023  润新知