佩尔方程

什么是佩尔方程

$$x^2-Dy^2 = 1, D in mathbb{N}^+$$

佩尔方程的解

如果 $D$ 是完全平方数，则方程只有平凡解： $(pm 1, 0)$.

如果 $D$ 不是平方数，设 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$ 是上述方程的两个解，那么 $(x_1x_2 + y_1y_2*D, x_1y_2, x_2y_1)$ 也是方程的一组解。

则方程解的递推式为：

$$egin{cases}
x_n = x_{n-1}*x_1 + y_{n-1}*y_1*D & \
y_n = x_{n-1}*y_1 + y_{n-1}*x_1 &
end{cases}$$

规模较大时，可以打表或者矩阵快速幂解决。

最小特解

由上面递推的方法知，需要先求得一组特解。

可以暴力枚举，也可以用连分数法。

n	x	y	n	x	y	n	x	y
1	-	-	33	23	4	65	129	16
2	3	2	34	35	6	66	65	8
3	2	1	35	6	1	67	48842	5967
4	-	-	36	-	-	68	33	4
5	9	4	37	73	12	69	7775	936
6	5	2	38	37	6	70	251	30
7	8	3	39	25	4	71	3480	413
8	3	1	40	19	3	72	17	2
9	-	-	41	2049	320	73	2281249	267000
10	19	6	42	13	2	74	3699	430
11	10	3	43	3482	531	75	26	3
12	7	2	44	199	30	76	57799	6630
13	649	180	45	161	24	77	351	40
14	15	4	46	24335	3588	78	53	6
15	4	1	47	48	7	79	80	9
16	-	-	48	7	1	80	9	1
17	33	8	49	-	-	81	-	-
18	17	4	50	99	14	82	163	18
19	170	39	51	50	7	83	82	9
20	9	2	52	649	90	84	55	6
21	55	12	53	66249	9100	85	285769	30996
22	197	42	54	485	66	86	10405	1122
23	24	5	55	89	12	87	28	3
24	5	1	56	15	2	88	197	21
25	-	-	57	151	20	89	500001	53000
26	51	10	58	19603	2574	90	19	2
27	26	5	59	530	69	91	1574	165
28	127	24	60	31	4	92	1151	120
29	9801	1820	61	1766319049	226153980	93	12151	1260
30	11	2	62	63	8	94	2143295	221064
31	1520	273	63	8	1	95	39	4
32	17	3	64	-	-	96	49	5

这是一些最小解，

如果取使得 $x$ 单调递增的 $D$组成序列，就是 OEIS:A033316.

佩尔方程的变形

1、$x^2-ny^2=-1$

可以两边平方：

$(x^2-ny^2)^2 = (-1)^2$

$(x^2+ny^2) - n*(2xy)^2 = 1$

此外，使得方程有解的 $n$ 的序列：

OEIS A031396: 1, 2, 5, 10, 13, 17, 26, 29, 37...

2、$x^2 - ny^2 = pm 2$

同样平方得：$(x^2+ny^2)-n(2xy)^2 = 4$.

因为 $ny^2 = x^2 pm 2$， 代入，$(x^2 pm 1)^2 - n(xy)^2=1$.

3、佩尔型方程

$x^2-ny^2=1$

附：

一个在线解佩尔方程的网站：http://www.numbertheory.org/php/pell.html

参考链接：

1. https://blog.csdn.net/alusang/article/details/81266923#commentsedit

2. http://blog.sina.com.cn/s/blog_5d06e2390100ll92.html

3. https://en.wikipedia.org/wiki/Pell%27s_equation#History