hdu2281&&POJ1320——Pell方程

hdu2281

输入一个 $N$，求最大的 $n$（$n leq N$）和 $x$，使得 $x^2 = frac{1^2+2^2+...+n^2}{n}$.

分析：

将右边式子的分子求和化简，有：$x^2 = frac{(n+1)(2n+1)}{6}$.

变换成：$(4n+3)^2-48x^2 = 1$.

这就是佩尔方程的形式，且样例给出了最小整数解(7, 1)。

求出long long范围内的所有解（也就9个）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
ll n;
vector<ll>nn, xx;

void init()
{
    ll pre_x = 7, pre_y = 1;
    nn.push_back(1), xx.push_back(1);
    for(int i;;i++)
    {
        ll tmpx = pre_x*7 + pre_y*1*48;
        ll tmpy = pre_x*1 + pre_y*7;
        if(tmpx < 0)  break;
        if((tmpx-3)%4 == 0)
        {
            nn.push_back((tmpx-3)/4);
            xx.push_back(tmpy);
        }
        pre_x = tmpx; pre_y = tmpy;
    }
    nn.push_back((ll)1e18+5);  //设置一个边界
}

int main()
{
    init();
    //printf("%d
", nn.size());
    while(scanf("%lld", &n) == 1 && n)
    {
        for(int i = 0;i < nn.size();i++)
        {
            if(n < nn[i])
            {
                printf("%lld %lld
", nn[i-1], xx[i-1]);
                break;
            }
        }
    }
}

 POJ 1320

题意：有 m 个编号从 1 到 m 的房子，问是否存在 1+2+3+...+ (N-1)=(N+1)+(N+2)+...+(M)，求出前 10 个 n、m

分析：

将左右两端的等差数列求和，有：$(2m+1)^2-8n^2=1$

易知佩尔方程 $x^2-8y^2=1$ 的最小解为 (3, 1)，按递推式可求出其他的解。

#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int x = 3, y = 1;
    for(int i = 0;i < 10;i++)
    {
        int tmpx = x*3 + y*1*8;
        int tmpy = x*1 + y*3;
        printf("%10d%10d
", tmpy, (tmpx-1)/2);  //易知tmpx一定是奇数，所以不必判断
        x = tmpx, y = tmpy;
    }
    return 0;
}

参考链接：

1. https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/88723480

2. https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/88723187