即高中经常用的换元法。
直接看两个例子吧！
例子一
考虑递推式
$$f(n) = egin{cases}
1 & n=2 \
1 & n = 4 \
f(n/2)+f(n/4) & n>4
end{cases}$$
解：
这里假设 $n$ 是2的幂，令 $t = log n, g(k) = f(2^k)$
那么
$$g(k) = egin{cases}
1 & n=2 \
1 & n = 4 \
g(k-1)+g(k-2) & n>4
end{cases}$$
根据Fibonacci的递推式，$g(k) = phi ^k, phi = frac{1+sqrt5}{2}$
所以 $f(n) = g(log n) = phi^{log n} = n^{log phi } = Theta(n^{0.69})$.
例子二
考虑递推式
$$f(n) = egin{cases}
d & n=2 \
2f(sqrt n) + b log n& n>2
end{cases}$$
解：
设 $n = 2^{2^k}$，则 $k = loglogn, g(k) = f(2^{2^k})$.
$f(n)$ 可重写成
$$g(k))egin{cases}
d & k=0 \
2g(k-1)+b2^k & k>0
end{cases}$$
易求 $g(k) = d2^k + bk2^k$
因此 $f(n) = g(loglogk) = d* logn + b* logn* loglogn$.