Stirling数入门

第一类Stirling数

定义

$$
egin{aligned}
(x)_n & =x(x-1)...(x-n+1)\
&= s(n, 0) + s(n,1)x +..+s(n,n)x^n\
end{aligned}$$

例如，$n=3$ 时，

$(x)3 = x(x-1)(x-2)$

$(x)3 = x^0 + 2x -3x^2 + x^3$

于是 $s(3,0)=0,s(3,1)=2,s(3,2)=-3,s(3,3)=1$

有符号斯特林数和无符号斯特林数有如下关系：

$$s(n, k) = (-1)^{n-k}egin{bmatrix} n\ k end{bmatrix}$$

下文的 $s(n, k)$ 都是指的无符号的了。

理解

$n$ 个人围着 $k$ 个相同圆桌，每个桌子非空的方案数就是 $s(n, k)$。

也就是将 $n$ 个不同元素分成 $k$ 组，每组中的元素再进行圆排列的方法数。

例如，$s(4, 2) = 11$

1. (A,B)(C,D)
2. (A,C)(B,D)
3. (A,D)(B,C)
4. (A)(B,C,D)
5. (A)(B,D,C)
6. (B)(A,C,D)
7. (B)(A,D,C)
8. (C)(A,B,D)
9. (C)(A,D,B)
10. (D)(A,B,C)
11. (D)(A,C,B)

易得一个递推式，

人a独占一桌：$s(n-1, k-1)$

人a不独占一桌：先将 $n-1$ 个人安排好，再将a安排到任一人的右边，$(n-1)*s(n-1, k)$

所以，$s(n, k) = s(n-1. k-1) + (n-1)*s(n-1, k)$

第二类Stirling数

定义

 与第一类Stirling数类似，可以用下降阶乘幂定义：

$$x^n = sum_{k=0}^ns(n, k)(x)_k$$

 例如，$n=3$ 时

$$x^3 = s(3, 0)(x)_0 + s(3,1)(x)_1 + s(3,2)(x)_2+s(3,3)(x)_3$$

即 $x^3 = s(3, 0) + s(3,1)x + s(3,2)x(x-1)+s(3,3)x(x-1)(x-2)$

开并合并同类项，得

$$x^3 = s(3,0) + [(3,1)-s(3,2)+2s(3,3)]x + [s(3,2)-3s(3,3)]x^2 + s(3,3)x^3$$

对比系数，解得

$s(3,0)=0, s(3,1)=1,s(3,2)=3,s(3,3)=1$

理解

将含有 $n$ 个元素的集合拆分成 $k$ 个非空子集的方法数就是第二类Stirling数。

也就是将 $n$ 个有区别的球放到 $k$ 个盒子里的方案数。

例如，$s(4,2)=7$（自行前前面对比），

1. (A,B)(C,D)
2. (A,C)(B,D)
3. (A,D)(B,C)
4. (A)(B,C,D)
5. (B)(A,C,D)
6. (C)(A,B,D)
7. (D)(A,B,C)

也与第一类Stirling数有类似的递推式（初始条件都相同）：

$$s(n, m) = s(n-1, m-1) + m*s(n-1, m)$$

证：

等价于将 $n$ 个有区别的球放到 $k$ 个盒子里的方案数，

若球a独占一盒，$s(n-1, m-1)$

若球a不独占一盒，先将剩下的 $n-1$ 个放入 $m$ 个盒子中且不允许有空盒，再将球a放入其中一盒，$ms(n-1, m)$.

补充：

参考链接：

1. https://blog.csdn.net/doyouseeman/article/details/50876786

2. https://zh.wikipedia.org/wiki/斯特林数