原根
为了简单起见，只考虑素数的情况。（并不是只有素数才有原根
定义：对于素数 $p$，如果存在一个正整数 $1<a<p$，使得 $a^1, a^2, ..., a^{p-1}$ 模 $p$ 的值取遍 $1,2,...,p-1$ 的所有整数，称 $a$ 是 $p$ 的一个原根（primitive root），其实就是循环群的生成元。
如果 $a^j equiv a^i(mod p)$，则 $i equiv j(mod {p-1})$。这里有两个例子：
- 3是7的原根，因为3-->2-->6-->4-->5-->1，然后开始循环
- 2不是7的原根，因为2-->4-->1-->2-->4...，过早的循环了
注意到 $a^{p-1} equiv 1(mod p)$，这个生成序列一定会包含1，且在此之前不会有循环——要是在出现1之前就循环了，就永远不会出现1了。
也就是说，原根的循环节为 $p-1$，非原根有较小的循环节，且是 $p-1$ 的约数（因为元素的阶整除群的阶）。
这就是判断原根的方法：枚举小循环长度$b$ （它一定是 $p-1$ 的真因子），判断是否有 $m^b equiv 1(mod p)$（如果是，则表示 $m$ 不是原根）。虽然这个方法理论上并不是很优秀，但在算法竞赛中已经够用。
通俗地说，如果是原根，群的阶次方才为1；如果不是原根，群的阶的约数次方就会出现1.
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; ll qpow(ll a, ll b, ll p) { ll res = 1; while (b > 0) { if (b & 1) res = res * a % p; a = a * a % p, b >>= 1; } return res; } ll generator(ll p) { vector<ll> fact; ll phi = p - 1, n = phi; for (ll i = 2; i * i <= n; ++i) { if (n % i == 0) { fact.push_back(i); while (n % i == 0) n /= i; } } if (n > 1) fact.push_back(n); for (ll res = 2; res <= p; ++res) { bool ok = true; for (ll factor : fact) { if (qpow(res, phi / factor, p) == 1) { ok = false; break; } } if (ok) return res; } return -1; } int main() { printf("%d ", generator(998244353)); }
值得注意的是，原根并不是唯一的。
有结论：设群 $G=(a)$，若 $|G|=n$，则 $G=(a^r)$ 当且仅当 $(r, n)=1$，即生成元有 $varphi (n)$ 个。
在上文中，群为 ${1, 2, ..., p-1}$ 模 $p$ 的乘法群。
例如，$p=7$ 时，3为原根，(5, 6)=1，所以 3^5 %7=5 也是原根。