bzoj 2480——扩展BSGS

题意

给定 $a,b$ 和模数 $p$，求整数 $x$ 满足 $a^x equiv  b(mod p)$，不保证 $a,p$ 互质。

（好像是权限题，可见洛谷P4195

分析

之前讲过，可以通过设置 $x = km - r$ 而非 $x = km + r$ 避免求逆元，但是需要逆元存在，$a, p$ 互质的条件保证了这一点。

如果 $a, p$ 不互质怎么办呢？

我们想办法让他们变得互质。

具体地，设 $d_1 = gcd(a, p)$，如果 $d_1 mid b$，则原方程无解。否则我们把方程同时除以 $d_1$，得到

$$frac{a}{d_1}cdot a^{x-1} equiv frac{b}{d_1} mod (frac{p}{d_1})$$

如果 $a$ 和 $frac{p}{d_1}$ 仍不互质就再除，设 $d_2=gcd(a, frac{p}{d_1})$。如果 $d2 mid frac{b}{d_1}$，则方程无解；否则同时除以 $d_2$ 得到

$$frac{a^2}{d_1d_2}cdot a^{x-2} equiv frac{b}{d_1d_2} mod(frac{p}{d_1d_2})$$

这样不停地判断下去，直到 $a perp frac{p}{d_1d_2...d_k}$。

记 $D = prod_{i=1}^kd_i$，于是方程就变成了这样：

$$frac{a^k}{D}cdot a^{x-k} equiv frac{b}{D} mod(frac{p}{D})$$

由于 $a perp frac{p}{D}$，于是推出 $frac{a^k}{D} perp frac{p}{D}$。这样 $frac{a^k}{D}$ 就有逆元了，于是把它丢到方程的右边，就是一个普通的BSGS问题了，于是求解 $x-k$ 再加上 $k$ 就是原方程的解。

$frac{a^k}{D}$ 可能很大，事实上可以随手模 $frac{p}{D}$（显然）。

注意，不排除解小于等于 $k$，所以在消因子之前做 $O(k)$ 枚举，直接验证 $a^i equiv b mod(p)$，就能避免这种情况。

这个复杂度已经有点玄学了，普通的BSGS的复杂度为 $O(sqrt p logp)$。洛谷上100组，$a, b, p leq 1e9$，map不开O2优化会超时，需要开O2优化或者使用unordered_map。

代码

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll gcd(ll a, ll b)
{
    return b ? gcd(b, a%b) : a;
}

ll qpow(ll a, ll b, ll p)
{
    a = a % p;
    ll ret = 1;
    while(b)
    {
        if(b&1)  ret = ret * a % p;
        a = a * a %p;
        b >>= 1;
    }
    return ret % p;
}

ll extend_bsgs(ll a, ll b, ll p)  //a^x=b(mod p)，a,p不一定互质，不存在返回-1
{
    ll _a = a, _b = b, _p = p;
    a %= p; b %= p;
    if (a == 0)
        return b > 1 ? -1 : b == 0 && p > 1;
    ll g, cnt = 0, q = 1;
    while ((g = gcd(a, p)) != 1) {
        if (b == q)  return cnt;
        if (b % g)  return -1;
        ++cnt;
        b /= g;
        p /= g;
        q = a/g*q%p;  //可以随手取模
    }

    ll tmp = 1;
    for(int i = 0;i <= cnt;i++)   //枚举小于等于cnt的（好像也不是必须的
    {
        if(tmp % _p == _b)  return i;
        tmp = tmp * _a % _p;
    }

    map<ll, ll> x;
    ll m = sqrt(p);
    for (ll i = 1, t = b*a%p; i <= m; ++i, t = t*a%p)
        x[t] = i;
    for (ll i = m, t = qpow(a, m, p); i-m < p-1; i += m)
        if (q = q*t%p, x.count(q))
            return i-x[q]+cnt;
    return -1;
}

int main()
{
    ll a, p, b;
    while (scanf("%lld %lld %lld", &a, &p, &b), p) {
        ll ans = extend_bsgs(a, b, p);
        if (ans == -1)
            puts("No Solution");
        else
            printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}

参考链接：

1. 大步小步算法（BSGS）及扩展  & bzoj2480

2. OI WIKI——BSGS算法