2019HDU多校第六场1009 Three Investigators——杨表

题意

给定一个 n 个元素的数列，从前 k 个元素中取5次不下降子序列，求取得的和的最大值（k从1至n）

分析

       考虑将数字 a[i] 拆成 a[i] 个 a[i]，比如 “4,1,2”→“4,4,4,4,1,2,2”，则问题转化为：找到最多 5 个不共享元素的不下降子序列，使得这些子序列包含的元素总量最多。可以证明，这等于杨氏图表前 5 层的长度之和。（手动模拟一下就能发现）

考虑杨氏图表求解答案的过程：

• 从 1 到 n 依次考虑序列中的每个数，将其插入杨氏图表的第一层中。
• 插入 x 时，如果 x 不小于这一层的最大的数，则将 x 放在这一层的末尾；否则找到大于 x 的最小的数 y，将 y 替换为 x，并将 y 插入下一层。

        因为每一层的元素都有序，所以可以用数组维护，寻找 y 的过程可以用二分查找加速。

        但是对于本题来说，我们不能暴力地插入 a[i] 个 a[i]。考虑将杨表每一层中相同的元素合 并，用 std::map 记录每个元素的个数，那么当我们一次性插入 x 个 x 时，只需要将其插入 std::map 中，然后不断消费后继，将后继的元素个数减少即可，在减少的时候要将其作为 “p 个 q” 插入下一层中。 每一类数字被消费完毕后需要及时从 std::map 中删除，而每次插入会导致最多一种其它 数字被拆分，所以每层的插入次数至多为上一层的两倍。

       假设要求不超过 k 个子序列的答案，本题中 k = 5，则时间复杂度为 $O(2^kn log n)$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int K=5;
map<int, ll>T[K];
ll ans;
int n;

//在第o行插入p个x
void insert(int o,int x,ll p){
  if(o>=K)return;
  T[o][x]+=p;
  ans+=p;
  while(p){
    map<int,ll>::iterator it=T[o].lower_bound(x+1);
    if(it==T[o].end())return;
    ll t=min(p,it->second);
    ans-=t;
    p-=t;
    insert(o+1,it->first,t);
    if(t==it->second)T[o].erase(it);else it->second-=t;
  }
}


int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        ans = 0;
        for(int i=0;i<K;i++) T[i].clear();
        for(int i = 1;i <= n;i++)
        {
            int tmp;
            scanf("%d", &tmp);
            insert(0, tmp, tmp);
            printf("%lld%c", ans, i == n ? '
' : ' ');
        }
    }
    return 0;
}